1、第四章 三角函数第 1 讲 三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示 命题探究考 点 三 角 函 数 的 概 念 、同 角 三 角 函 数 的 关 系 和 诱 导 公 式1 三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合|2k ，kZ(2)角度与弧度的互化3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad 57.30.180 (180)(3)弧长及扇形面积公式弧长公式：l|r；扇形面积公式：S lr |r2.12 12其中 l 为扇形弧长， 为圆心角，r 为扇形半径(4)任意角的三角函数的定义设 是一个任意角， 的终边上任意一点
2、 P(与原点不重合) 的坐标为(x ，y)，它到原点的距离是 r .x2 y2三角函数 定义 定义域sin yr Rcos xr Rtan yx Error!(5)三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(6)三角函数线角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限图形2 同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin 2cos 21.(2)商数关系：tan .sincos( 2 k，k Z)3 诱导公式及记忆规律(1)诱导公式组数 一 二 三 四 五 六角 2k(kZ) 22正弦 sin sin sin sin cos cos余弦 cos cos cos cos s
3、in sin正切 tan tan tan tan (2)诱导公式的记忆规律诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇” “偶”指的是诱导公式 k 中的整数 k 是奇数还是偶数 “变”与“不变”2是指函数的名称的变化，若 k 为奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在 k 中，将 看成锐角时 k 所在的象限2 2注意点 应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍. 1思维
4、辨析(1)120角的正弦值是 ，余弦值是 .( )12 32(2)同角三角函数关系式中的角 是任意角( )(3)六组诱导公式中的角 可以是任意角( )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与 的大小无关( )(5)锐角是第一象限角，反之亦然( )(6)终边相同的角的同一三角函数值相等( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos( )A. B.45 35C D35 45答案 D解析 由三角函数的定义知 cos .故选 D. 4 42 32 453(1) 角 870的终边所在的象限是( )A第一象限 B第二象限C第三象限
5、 D第四象限(2)弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为_，面积为_答案 (1)C (2)4 6解析 (1) 因为 8702360150，又150是第三象限角，所以870的终边在第三象限(2)弧长 l 3，圆心角 ，由弧长公式 l|r，得 r 4，面积34 l| 334S lr6.12考法综述 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力命题法 三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例 (1)已知 sincos ，且 0.又(cos s
6、in) 212sincos12 ，18 34cos sin .32(2)点 P( ，m)是角 终边上一点，由三角函数定义可知 sin .又 sin3m3 m2m，24 m.m3 m2 24又 m0，m 25，cos . 33 m2 64(3)设圆心角是 ，半径是 r，则 2rr40.又 S r2 r(402r)r(20r)(r10) 2100100.12 12当且仅当 r10 时，S max100，此时 2101040， 2.当 r10，2 时，扇形的面积最大(4) ，(6 ) ( 23) 2 ，23 2 (6 )sin sin ，( 23) 2 (6 )cos .(6 ) 23答案 (1)B
7、 (2) (3)10 2 (4)64 23【解题法】 同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤(1)同角关系式的应用技巧弦切互化法：主要利用公式 tan 化成正弦、余弦函数sincos和积转换法：如利用(sincos )212sincos 的关系进行变形、转化巧用“1”的变换：1 sin2cos 2cos 2(1tan 2)sin 2 .(1 1tan2)(2)使用诱导公式的原则和步骤原则：负化正、大化小、化到锐角为终了步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为 0 之间角的三角函数，然2后求值1.若 tan2tan ，则 ( )5cos( 310)sin( 5)A1 B2C 3 D4答
8、案 C解析 cos( 310)sin( 5)sin( 310 2)sin( 5) sin( 5)sin( 5)sincos5 cossin5sincos5 cossin5sincoscos5 sin5sincoscos5 sin5 3，故选 C.2sin5cos5cos5 sin52sin5cos5cos5 sin5 3sin5sin52设 asin33，bcos55，ctan35，则( )Aabc BbcaC cba Dcab答案 C解析 asin33，bcos55sin35，ctan35 ，sin35cos35 sin35sin33.cba，选 C.sin35cos353已知扇形的周长是
9、4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )A2 B1C. D312答案 A解析 设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则 2rl 4，面积 S rl r(42r)12 12r 22r( r1) 21，故当 r1 时 S 最大，这时 l42r2.从而 2.lr 214已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y )是角 终边上一点，且 sin ，则 y_.255答案 8解析 若角 终边上任意一点 P(x，y)，|OP |r，则sin ，cos ，tan .P(4，y )是角 终边上一点，由三角函数的定义知 sinyr xr yx，又 sin ，y16 y2 255
10、，且 y0，(0，2) ，当且仅当 tan2 时sin2sin2 4cos2 2sincossin2 4cos2 2tan4 tan2 2tan 4tan 12取等号6在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ，n(sinx，cos x)，x .(22， 22) (0，2)(1)若 mn，求 tanx 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值3解 (1) m n，mn0.故 sinx cosx0 ，tan x1.22 22(2)m 与 n 的夹角为 ，cosm，n ，故3 mn|m|n| 22sinx 22cosx11 12sin .(x 4) 12又 x ，x ，x ，即 x
11、，故 x 的值为 .(0，2) 4 ( 4，4) 4 6 512 512已知角 的终边在直线 2xy0 上，求角 的正弦、余弦和正切值错解 错因分析 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解正解 在直线 2xy0 上取点(m,2m)( m0)则 r |m|，5当 m0 时，r m，sin ，cos ，tan 2.5yr 2m5m 255 xr m5m 55 yx 2mm当 m0 时，角 的终边过点(1， 3)，利用三角函数的定义可得 sin；当 a0.2(sincos)212sincos ，289169sincos .1713由Error!得Error!tan .12532016枣强中学预测 设集合 MError!18045，kZ Error!，NError!xError!x 18045，kZError!，那么( )k4AMN BMNC NM DMN 答案 B
