1、必修一 函数的基本性质常见题型及方法第一部分：求函数值域定义域 例 1 求下列函数的定义域（1） （2） （3） ；23;xy 216;xyx0(1)xy（4）0232(1)5xx例 2（1）已知函数 的定义域为0，1，求 的定义域；()f 2(1)fx（2）已知函数 的定义域为0 ，1),求 .21x3例 3 已知函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围。324aya例 4 求下列函数的值域（1） ；（2） ；（3） （4）21;,35yx1yx1xy2（5） ；（6） （7）3(52)yxx254yx21例 5 求下列函数的值域（1） ；（2）1yx1yx1、观察法：利用熟知基础函数的值域
2、，求出函数的值域；2、配方法： 若函数是二次函数形式的可通过配方后再求出函数的值域；3、反比例函数法：形如 的形式值域为cxdyab；cxdyyRab且4、换元法：对一些无理函数或超越函数，通过换元把它们转换为有理函数，再利用有理函数的特征求函数值域（复合函数的情况较多）5、判别式法：形如 的常用该方法。将 看成yy一 次 函 数 二 次 函 数 二 次 函 数或 或二 次 函 数 一 次 函 数 二 次 函 数 y是关于 的一元二次方程的系数，然后利用判别式 列出关x 240bac于 的不等式，从而求出值域（该方法不常用 ）y6、几何法：通过画函数图像找出函数的值域7、不等式法：利用重要不等
3、式求出函数值域；一般形如 yx8、单调性法：根据函数自身单调性，求出函数的最值从而确定函数的值域；第二部分函数的表示及函数变换 例 1 求下列函数的解析式（1） 已知 ，求 ；（代入法）2()fx(21)fx（2） 已知 ，求 ；（配凑法或换元法）1（3） 已知 （方程法）()23fxfx（4） 若 ，求一次函数 的解析式（待定系76()fx数法）（5） 已知函数 对任意的实数 ，都有()fx,xy，且 ，求 的解析式（抽象()(2)fxyfyx(1)f()fx函数的解析式求法）（注：1、所给函数方程含有两个变量时，可对两个变量交替代入特殊值，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知数
4、的函数，至于是什么特殊值，根据题目特征而定。2、通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出解析式）第三部分 函数的单调性 1、函数的单调性的证明（略）2、函数单调性的判断方法：（1 ） 、图象法（2）直接法（3）利用符合函数的单调性的判断法则（4）导数法3、掌握常见函数的单调性4、函数单调性的应用（1 ） 、利用函数单调性比较函数值的大小（2 ） 、利用函数的单调性求参数的取值范围（3 ） 、利用函数的单调性求函数的最值5、抽像函数的单调性 ：没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常
5、采用定义法，还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。例 1 讨论函数 在 上的单调性，其中 为非零常数。2()1axf(,)a例 2 已知函数 在 上是减函数，试比较 与 的大0,)3()4f21)f小。例 3 求函数 上的最大值与最小值()2,51xf在例 4 已知函数 对于任意 ，总有 ，且当yR()()fxyfx时， ， 。 （抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特0x()0fx()3f殊值的应用）(1)求证 在 R 上是减函数。 (2)求 在 上的最大值和()fx3,最小值。第四部分 函数的奇偶性1、 函数奇偶性的应用（1 ） 、求函数值（2）求函数解析式（3）解抽象函数不等
6、式例 1、设函数 是定义域 R 上的奇函数， ，当()fx(2)(fxfx时， ，求 的值0(7.5)f例 2、已知 是定义在 R 上的奇函数，且当 时，()fx0x，求 的解析式。3()1f()f例 3 设 在 R 上是偶函数，在区间 上递增，且有x(,)，求 的取值范围。22()(31)fafaa例 4 判断下列函数的奇偶性1、 ；2、1()xf21,0.();xf注意：（1 ）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。（2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。(3)若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。例
7、 5 已知函数 的定义域是 的一切实数，对定义域内的任意()fx0x都有 ，且当 时 ，12,x1212()ffA1x()0,(2)1ff（1 ） 求证： 是偶函数；)x（2 ） 求证： 在 上是增函数；(f0,)（3 ） 试比较 与 的大小。5()2f7(4f例 6 函数 是奇函数，且当 时是增函数，若 ，()0yfx0,)x(1)0f求不等式 。12的 解 集例 7 设 是连续的偶函数，且当 时 是单调函数，且满足()fxx()f的所有 之和为（ ）34A .-3 B.3 C.-8 D.8练习题1、函数 的图象关于（ ）.1()fxAy 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称
8、D.直线 y=x 对称2、已知 在 R 上是奇函数，且满足 ，当 时， ()f (4)(fxf(0,2)x，则 （ ） 。2fx7fA.-2 B.2 C-98 D.983、设定义在 R 上的函数 满足 。若 ，则()fx()2)13fxA()2f（ ） 。(9)fA.13 B.2 C. D.132134、若 函数 ，则函数 在其定义域上是（ ）3()fxR()yfxA.单调递减的偶函数 B.单调递增的奇函数C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 5、 是定义在 R 上的函数， ，则“ 均为(),fxg()()hxfgx(),fxg偶函数”是“ 为偶函数”的（ ） 。()hxA.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6、已知定义在 R 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ()fx(2)(ffx(6)f）A.-1 B.0 C.1 D.2 7、设 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）()fxA. 是奇函数 B. 是奇函数()fxC. 是偶函数 D. 是偶函数()fx 8、设函数 为奇函数，则 .(1)xaa9、已知函数 为奇函数，若 ，则 yf(3)21f(2)3ff10、设函数 在 上满足 ，()x,),7()xfx且在闭区间 上，只有 。0,7(1)0f试判断函数 的奇偶性；()yfx
