1、 环和域环的定义环 (Ring) : 一个非空集合 S上有两种运算：加法 “+”和乘法“”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环：1. (R, +)是一个交换群，加法单位元记为 0（称为零元）；2. R关于乘法 “”满足结合律 : (ab) c=a (bc), 并有单位元 , 记为 1；3. 分配律成立 : (a+b) c=ac+bc, c (a+b)=ca+cb. 4.注： 0是抽象的写法，不同于整数中的 0.5. “+”和 “”是抽象的运算环的例子（ 1） 在通常的加法和乘法运算下， Z, Q, R 和 C都是环，加法单位元为 0，乘法单位元为 1。环的例子（ 2） 对任意 n0，在模 n
2、加法和模 n乘法下， Zn是一个环。加法单位元为 0，乘法单位元为 1。环的例子 (3) 多项式环 Zx环中的零元 对于环中的任意元素 a, 都有 0a=a0=0 一般地， 0与 1不相等，否则 1a=a, 而 0a=0，这表明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑 所以 0关于乘法没有可逆元环的几个性质设 R是一个环 , a,b R, 有 : a(-b)=(-a)b=-(ab) (-a)(-b)=ab 交换环 类似于交换群的定义，如果一个环关于乘 法运算具有可交换性，就称它为交换环。无零因子环 设 R是一个环 , 如果存在 a,bR, a0, b0, 但ab=0, 那么称 R是有零因子 环 , 否 则 称 R是无零因子 环 . ab=0 a=0或 b=0.无零因子环的性质性质 1. 设 R是无零因子环 , 那么1.若 a0, ab=ac, 则 b=c;2.若 a0, ba=ca, 则 b=c.性质 2. 设 R是无零因子环 , 那么R中非零元的加法 阶 相等 , 或者 为 , 或者 为 素数 .
