1、电话： 400-810-2680第 1讲专题 一：奇数与偶数专题 二：数的整除专题 三：余数 问题授课时间： 2011年 10月 19日 周三数论综合专题一：奇数与偶数一 、 专题知识点概述奇数和偶数的定义 ： 整数可以分成奇数和偶数两大类 .能被 2整除的数叫做偶数，不能被 2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用 2k（ k为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（ k为整数）表示。特别注意，因为 0能被 2整除，所以 0是偶数。奇数和偶数 运算性质：性质 1：偶数 偶数 =偶数，奇数 奇数 =偶数 性质 2：偶数 奇数 =奇数性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数性质
2、 5：偶数 奇数 =偶数，奇数 奇数 =奇数，偶数 偶数 =偶数性质 6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。性质 7：对于任意 2个整数 a,b ,有 a+b与 a-b同奇或同偶性质 8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k专题一：奇数与偶数二 、 重点难点解析奇数与偶数的定义和运算性质分类讨论的思想和代数的思想三 、竞赛考点挖掘奇数偶数的操作性问题奇数偶数的性质与其他知识点的结合专题一：奇数与偶数四 、习题讲解【例 1】（难度等级 ）能否从、四个 6，三个 10，两个 14中选出 5个数，使这 5个数的和等于 44.【分析与解】可以把题目中的数
3、都除以 2.本题相当于：能否从、四个 3，三个 5，两个 7中选出 5个数，使这 5个数的和等于 22.因为 3， 5， 7都是奇数，而且 5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数 22，所以不能 .【例 2】（难度等级 ）是否存在自然数 a、 b、 c，使得 (a-b)(b-c)(a-c)=45327？【分析与解】可以分情况来讨论： 3奇 0偶， 2奇 1偶， 1奇 2偶， 0奇 3偶。比较繁琐，可以根据 45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以 a-b、 b-c、 a-c都为奇数，再根据奇偶性进行判断。专题一：奇数与偶数四 、习题讲解【例 3】（难度等级 ）任意交换某个三位数的数字
4、顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于 999？【分析与解】不能。 2个三位数的和为 999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么 999的数字之和是 27，而原来的 2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以 a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为 a，则会有 2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。专题一：奇数与偶数四 、习题讲解【例 4】（难度等级 ）在一张 9行 9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例如 a=5+3
5、=8问：填入的 81个数字中是奇数多还是偶数多 ?【分析与解】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜我们应该从整体上去比较奇偶数的多少易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多 1个所以前 8行中奇偶数一样，余下第 9行奇数行，答案可脱口而出偶数多专题一：奇数与偶数五 、课后思考一条线段上分布着 n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白 .那么白点的数目是奇数还是偶数？用代表整数的字母 a、 b、 c、 d写成等
6、式组：abcd-a=1991abcd-b=1993abcd-c=1995abcd-d=1997试说明：符合条件的整数 a、 b、 c、 d是否存在 .专题一：奇数与偶数六 、挑战自己 （难度等级 ）圆桌旁坐着 2k个人，其中有 k个物理学家和 k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多又当问及： “你的右邻是什么人 ”时，大家全部回答： “是化学家 ”证明： k为偶数专题二：数的整除一 、 专题知识点概述常见数字的整除判定方法 ：1. 一个数的末位能被 2或 5整除，这个数就能被 2或 5整除；一个数的末两位能被 4或 25整除，这个
7、数就能被 4或 25整除；一个数的末三位能被 8或 125整除，这个数就能被 8或 125整除；2. 一各位数数字和能被 3整除，这个数就能比 3整除；一个数各位数数字和能被 9整除，这个数就能被 9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11整除，那么这个数能被 11整除 .4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、 11或 13整除，那么这个数能被 7、 11或 13整除 .专题二：数的整除一 、 专题知识点概述整除性质 ：性质 1 如果数 a和数 b都能被数 c整除，那么它们的和或差也能被 c整除即如果 c a， c b，那么 c (ab)性质 2 如果数 a能被数 b整除， b又能被数 c整除，那么 a也能被 c整除即如果 ba，cb，那么 ca性质 3 如果数 a能被数 b与数 c的积整除，那么 a也能被 b或 c整除即如果 bca，那么 ba， ca性质 4 如果数 a能被数 b整除，也能被数 c整除，且数 b和数 c互质，那么 a一定能被 b与 c的乘积整除即如果 ba， ca，且 (b， c)=1，那么 bca例如：如果 312， 412，且 (3， 4)=1，那么 (34) 12
