1、2.1 对数与对数运算1对数的概念一般地，如果 axN (a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlog aN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数 ya x 的另一种表达形式，例如：3481 与 4log 381 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式 axN xlog aN，从而得对数恒等式：alog aNN.(2)“log”同“”“”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义，对数 logaN(a0，且 a1)具有下
2、列性质：零和负数没有对数，即 N0；1 的对数为零，即 loga10；底的对数等于 1，即 logaa1.2对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度(1)基本公式loga(MN)log aMlog aN (a0，a1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和loga log aMlog aN (a0，a1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除MN数的对数减去除数的对数logaMnnlog aM (a0，a1，M0，nR )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数
3、乘以幂指数(2)对数的运算性质注意点必须注意 M0，N0，例如 loga(3)(4)是存在的，但是 loga(3) 与 loga(4)均不存在，故不能写成 loga(3)( 4)log a(3) log a(4)防止出现以下错误：log a(MN)log aMlogaN，log a(MN)log aMlogaN，log a MN， logaMn(log aM)n.logaMlogaN3对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为 10 的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log bN (b0，且 b1；c0，且 c1；N 0)logcNlogcb证明 设 logbNx，则 bxN.两
4、边取以 c 为底的对数，得 xlogcblog cN.所以 x ，即 logbN .logcNlogcb logcNlogcb换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN 或 logbNlogNb1 (N0，且 N1；b0 ，且 b1)；1logNb(2)logbnNm logbN(N0；b0，且 b1；n0，m R)mn.题型一 正确理解对数运算性质对于 a0 且 a1，下列说法中，正确的是( )若 MN，则 logaMlog aN；若 logaMlog aN，则 MN ；
5、若 logaM2 logaN2，则 MN ；若 MN，则 logaM2log aN2.A与 B 与 C D、 、解析 在 中，当 MN 0 时，log aM 与 logaN 均无意义，因此 logaMlog aN 不成立在中，当 logaMlog aN 时，必有 M0，N0，且 M N，因此 MN 成立在中，当 logaM2log aN2 时，有 M0，N 0，且 M2N 2，即|M|N |，但未必有MN .例如，M2，N2 时，也有 logaM2log aN2，但 MN.在中，若 MN 0，则 logaM2 与 logaN2 均无意义，因此 logaM2log aN2 不成立所以，只有成立答
6、案 C点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32log 3 log 385log 53；329(2)lg25 lg8 lg5lg20(lg2) 2；23(3) .log52log79log513log734分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算解 (1)原式2log 32(log 332log 39)3log 3232log 325log 3223log 323
7、1.(2)原式2lg52lg2lg lg(210)(lg2) 21022lg(52)(1lg2)(lg21)(lg2) 221(lg2) 2(lg2) 23.(3) log52log79log513log73412log522log73 log5313log74 .lg2lg5lg3lg7lg3lg513lg4lg7 32点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值题型三 对数换底公式的应用计算：(log 212
8、5log 425log 85)(log52log 254log 1258)分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值解 方法一 原式(log253 log225log24 log25log28)(log52 log54log525 log58log5125) (3log25 2log252log22 log253log22)(log52 2log522log55 3log523log55) log25(3log52)(3 1 13)13log 25 13.log22log25方法二 原式 (lg1
9、25lg2 lg25lg4 lg5lg8)(lg2lg5 lg4lg25 lg8lg125) (3lg5lg2 2lg52lg2 lg53lg2)(lg2lg5 2lg22lg5 3lg23lg5) 13.(13lg53lg2)(3lg2lg5)点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非 1 的正数为底) ，然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法已知 log(x3) (x23x )1，求实数 x 的值错解 由对数的性质可得 x23xx 3.解得 x1 或 x3.错因分析 对数的底数和真
10、数必须大于 0 且底数不等于 1，这点在解题中忽略了正解 由对数的性质知Error!解得 x1，故实数 x 的值为 1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga10，log aa1，alog aNN (a0，且 a1，N0)1(上海高考)方程 9x63 x70 的解是_解析 9 x63 x70，即 32x63 x70(3x7)(3 x1)03x7 或 3x1(舍去)xlog 37.答案 log 372(辽宁高考)设 g(x)Error!则 g _.(g(12)解析 g ln 0，a1 ，log a(a21)0，a1)在1,3上最大值与最小值之和为 a2，则 a 的值为(
11、)A4 B. C3 D.14 13答案 D6若方程(lgx) 2(lg7lg5)lgxlg7lg5 0 的两根为 ，则 等于( )Alg7lg5 Blg35 C35 D.135答案 D解析 lg lg(lg7lg5)lg35 lg135 .1357已知 f(log2x)x ，则 f _.(12)答案 2解析 令 log2x ，则 2 x，f 2 .12 12 (12) 12 28log ( 1) ( 1)_.2 2答案 1解析 log 1 ( 1)log 12 2 2(r(2) 1)(r(2) 1)2 1log ( 1) 1.212 19已知 lg20.301 0，lg30.477 1，lgx
12、 20.778 1，则 x_.答案 0.06解析 lg20.301 0，lg30.477 1，而 0.301 00.477 10.778 1，lgx 2lg2lg3，即 lgxlg10 2 lg6.lgxlg(610 2 )，即 x610 2 0.06.10(1)已知 lgxlgy2lg( x 2y)，求 log 的值；2xy(2)已知 log189a,18 b5，试用 a，b 表示 log365.解 (1)lgxlgy2lg( x2y)，xy(x2y) 2，即 x25xy 4y20.即(xy)(x4y )0，解得 xy 或 x4y，又 Error! x2y0，xy，应舍去，取 x4y.则 l
13、og log log 4 4.2xy 24yy 2 lg4lg2(2)18b5，log 185b, 又log 189a，log365 log185lg1836 blog18(182) b1 log182 b1 log18189 .b1 (1 log189) b2 a11设 a，b，c 均为不等于 1 的正数，且 axb yc z， 0，求 abc 的值1x 1y 1z解 令 axb y czt (t0 且 t1)，则有 log ta， log tb， log tc，1x 1y 1z又 0，log tabc0，abc1.1x 1y 1z12已知 a，b，c 是ABC 的三边，且关于 x 的方程
14、x22xlg(c 2b 2)2lga10有等根，试判定ABC 的形状解 关于 x 的方程 x22x lg(c 2b 2)2lga10 有等根，0，即 4 4lg(c2b 2)2lga10.即 lg(c2b 2)2lga0，故 c2b 2a 2，a2 b2c 2，ABC 为直角三角形22.1 对数与对数运算(一)学习目标1理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化2了解常用对数与自然对数的意义3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算自学导引1如果 a(a0 且 a1)的 b 次幂等于 N，就是 abN，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 blog aN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫
15、做真数2对数的性质有：(1)1 的对数为零；(2)底的对数为 1；(3)零和负数没有对数3通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，以 e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为 lgN，log eN 简记为 lnN.4若 a0，且 a1，则 abN 等价于 logaNb.5对数恒等式：alog aNN(a0 且 a1).一、对数式有意义的条件例 1 求下列各式中 x 的取值范围：(1)log2(x10) ； (2)log(x1) (x2) ；(3)log (x1) (x1) 2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于 1 可得到关于 x 的不等式(组) ，解之即可解 (1)由题意有
16、x100，x10，即为所求(2)由题意有Error!即Error! x1 且 x2.(3)由题意有Error!解得 x1 且 x0，x 1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于 1.变式迁移 1 在 blog (a2) (5a)中，实数 a 的取值范围是( )Aa5 或 a0)；(2)4 (log29log 25)12解 (1)原式(alog ab)logbclogcNblog bclogcN(blog bc)logcNclog cNN.(2)原式2(log 29log 25) .2log292log25 95点评 对数恒等式 alogaNN 中要注意格式：(1)它们是同底的； (2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数变式迁移 3 计算：3log 3 ( )log3 .5 315解 原式 3 log3 (3log 3 )512 15 5 1512 .515 6551一般地，如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，就是 abN，那么 b 叫做以 a 为底 N
