1、反三角函数的概念和性质一基本知识：1正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2掌握反三角函数的定义域和值域， yarcsin x, x 1, 1, y ， , yarccos x, x1, 1, y0, , 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3符号 arcsinx 可以理解为 ， 上的一个角或弧，也可以理解为区间 ， 上的一个实数；同样符号 arccosx 可以理解为0，上的一个角或弧，也可以理解为区间0，上的一个实数；4 yarcsin x 等价于 siny x, y ， , yarccos x 等价于 co
2、sy x, x0, , 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5注意恒等式 sin(arcsinx) x, x1, 1 , cos(arccosx) x, x1, 1, arcsin(sinx) x, x ， , arccos(cosx) x, x0, 的运用的条件；6掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7注意恒等式 arcsinxarccos x , arctgxarcctg x 的应用。例一下列各式中成立的是（ C） 。（ A）arcctg(1) （ B）arccos( ) C）sinarcsin( ) （ D）ar
3、ctg(tg ) 解：( A)(B)中都是值域出现了问题，即 arcctg(1)(0, ), arccos( )0, ,(D)中，arctg(tg ) , , 而 ， , ( A)(B)(D)都不正确。例二下列函数中，存在反函数的是（ D） 。（ A） ysin x, x, 0 （ B） ysin x, x , （ C） ysin x, x , （ D） ysin x, x , 解：本题是判断函数 ysin x 在哪个区间上是单调函数，由于 ysin x 在区间 , 上是单调递减函数， 所以选 D。例三 arcsin(sin10)等于（ C） 。（ A）210 （ B）102 （ C）310
4、（ D）103解：本题是判断哪个角度的正弦值与 sin10 相等，且该角度在 , 上。由于 sin(310)sin(10)sin10, 且 310 , , 所以选 C。 （例四求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。（1） f (x)2sin2 x, x , ;（2） f (x) arccos2 x.解：(1) x , , 2x , , 2x , , 2 y2由 y2sin2 x, 得 sin2x , sin(2x)sin2 x , 2 xarcsin( ), x arcsin , f 1 (x) arcsin , 2 x2, y , .(2) f (x) arccos2 x, x , ,
5、y , , arccos2 x y , 2xcos( y ), x cos(y ) siny, f 1 (x) sinx , x , , y , .例五求下列函数的定义域和值域：(1) yarccos ; (2) yarcsin( x2 x); (3) yarcctg(2 x1),解：(1) yarccos , 01, 0 , arccos( )最大,设 arcsin ，sin , 设 arctg , tg , sin .解：(1) x 1, 1, 当 x 时, arcsinxarccos x, 又 arcsinx 是增函数,arccos x是减函数， 当 x1, )时, arcsin x , arcsinx arcsin, arcsin x 是增函数, 0 （ B）arcctg x0 （ C）arcsin x 0 （ D）arctg x 02定义在(, )上的减函数是（ D） 。（ A） yarcsin x （ B） yarccos x （ C） yarctg x （ D） yarcctg x3不等式 arcsinx 的解集是 . 4不等式 arccosx 的解集是 .
