1、 2010 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成 为高考 压轴题及各级各类竞赛试题命题 的极好素材。 这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例 1.(1)求 的值; (2)求证: .nk1243512nk解析:(1) 因为 ,所以)(112142nkn(2)因为 ,所以2422 nn 35512 nk奇巧积累:(1) (2) 1122 )1()1(21 nCn(3) )(!
2、)(!1 rrnrCTrnr(4) 25123)(5) (6) nn12nn(7) (8) )()( nn2)3(1)2(13(9) kkknk1,1(10) (11)!)(!)( 2121)2( nnn(11) )()(1)()12()(2 nnnn(12) 113 nnn(13) 3212)(32)1(21 n(14) (15) !kk )(1)(15) 1)1)(222 jijijji例 2.(1)求证: )(67)(53122 nn(2)求证: 4164(3)求证: 1262)(532 n(4) 求证： )12(312)(2nn解析:(1) 因为 ,所以 1 )123()(1 ni(2
3、) )(4)1(4364222 nn(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案653n 2(4)首先 ,所以容易经过裂项得到1)(1n32)2再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，所以2121)(1nn)(32例 3.求证: 3594)1(62nn解析:一方面:因为 ,所以1223515312 nkn另一方面: 1)1(4294 nn当 时, ,当 时, ,n)(62946当 时, ,所以综上有221)1(359462nn例 4.(2008 年全国一卷) 设函数 .数列 满足 . .设 ，整数 .证明:()lnfxna10()nfa1)b， 1lnabk.1kab解
4、析:由数学归纳法可以证明 是递增数列,故存在正整数 ,使 ,则nakmb,否则若 ,则由 知k1)(kmb101ba, ,因为 ,lln1am kmk1lnl )ln(l11akkm于是 k)(|n|1例 5.已知 ,求证: .mnSxN32, )(11mnS解析:首先可以证明: n1)(所以要证 kmmmn 1111 )(0)(只要证: 1)(1mnmS故只 nkmmmmknk nn1111111 )(2)()()()( 要证 ,即等价于nmmk11 )(,即等价于)( 11)(,)(1mmkk而正是成立的,所以原命题成立.例 6.已知 , ,求证: .na24naT21 23321nT解析
5、: )21(4)(4)(31 nn 所以 3)(23234)2(4 21111 nnnnnn 3从而 21272321 nnT例 7.已知 , ,求证:x)(1Zkn *)(4124532 Nxn证明: ,因为nxn 214)(12,所以 )(412xn 所以 *)1(5432 Nx二、函数放缩例 8.求证： .)(653ln4l32ln*Nn解析:先构造函数有 ,从而xx1l )312(3l4l2nn因为 nn 198751 632983651n所以 5l4lln例 9.求证:(1) )2(1l,2n解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案xfl)(2ln2函数构造形式:
6、,1lnx)2(ln例 10.求证: n11l32解析:提示: 2lll)l( 函数构造形式: xn,当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数 ,xf1)(首先: ,从而,niABCFS)ln(|lixinin取 有, ,1i)1l(所以有 , , , ,相加后可以得到: 2n3)1l(nnl)l( )1ln(312另一方面 ,从而有inABDExS|ixiin取 有, ,1i)1l(所以有 ,所以综上有2)l( nn12)l(132例 11.求证: 和 .e)!(3! en389(解析:构造函数后即可证明例 12.求证: 2)1()21() n解析: ,叠加之后就可以得到答案3)1(ln
7、函数构造形式: (加强命题 )013)ln(0lxx例 13.证明: *,45l432N解析:构造函数 ,求导,可以得到:)()1(f,令 有 ,令 有 ,)( xf 0f2x0(f2x所以 ,所以 ,令 有,)2(f)ln(1nl所以 ,所以1ln)*(4)l543N例 14. 已知 证明 .21,().nnaa2ne解析: ,n)1(然后两边取自然对数,可以得到 nnal)21(l1然后运用 和裂项可以得到答案 )x)l(放缩思路： nna21nll(21FE DCBAn-i nyxO。于是 ，nna21lnna21l1.2)()()(1 niiii即 .l21enn注：题目所给条件 （
8、）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论l()x0来放缩：)(21ann )1(1nna，.)(ll 1)ln(1l)()1l(l 222 ainiii即 3)(enn例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.)(xf0xf0(I)求证：函数 上是增函数；,0(在xfg(II)当 ；)():, 212121 f证 明时(III)已知不等式 时恒成立，)ln且在求证： ).()(ln)(43*222 Nn解析:(I) ,所以函数 上是增函数0)(xfg,0在xfg(II)因为 上是增函数,所以在fx)()(2121
9、21fxf ()2fx两式相加后可以得到 )()(2121f(3) )() 2121 nnn xfxf ()(212xfxf )() 2121 nnnn xfxf 相加后可以得到:)()(21nxfxf所以 令 ,有 )l()(lll 2121321 nnn x 2)1(nx 22 )(43ln2222 1(3ln)1 n)(12(2n所以 ).(2)1(l)14l3l *22 Nn(方法二) 4n()(12所以 )2(4ln14ln)l(14ln312l 22 又 ,所以4n .)(*222 N例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 若.l)(xf)(l:,0bfafba证 明解析:设
10、函数 (),gxfk.201,0)(,ln)l(n.,l kxkxgf 则 有令函数 ）上单调递增，在 上单调递减.2在 ,( 的最小值为 ，即总有)()g).gx而 ,2ln(l(n2l(kfkfkg,)(x即 .lff令 则,bkan)()(a.2lnff三、分式放缩姐妹不等式: 和)0,(mab)0,(mba记忆口诀”小者小,大者大”解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.例 19. 姐妹不等式: 和12)()513(n也可以表示成为2)641(2n和53n 12)(n解析: 利用假分数的一个性质 可得)0,mab1264 67453 (53即)5312(n .12)1()(n
11、例 20.证明: 37(3n解析: 运用两次次分式放缩:(加 1)18956.23178452n(加 2)n304相乘,可以得到:)13(28754138057.243178452 nnn所以有 .)()(四、分类放缩例 21.求证: 21321n解析: )21()4133n2()( nn例 22.(2004 年全国高中数学 联赛加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 （ 0）上的点xoynAxy2列 满足 ，直线 在 x 轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .nBOAn1nBAnaBnbN(1)证明 4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 .aN00n1231 208解
12、析:(1) 依题设有： ，由 得：,2nnnbnO,又直线 在 轴上的截距为 满足2*21,nnbABxa00na12nab22110,nnb2 41n nnnb221an显然，对于 ，有0*14,aN(2)证明：设 ，则*1,nbc22 2222211n nn*10,nncN设 ，则当 时，*12,nScN 2k311343412nk kk 。22k所以，取 ，对 都有：4090n208147110232 nnSbb故有 成立。nbb1231 208例 23.(2007 年泉州市高三质检 ) 已知函数 ，若 的定义域为1，0 ，值域也为1，0.),1()(2Rcbxf(xf若数列 满足 ，记
13、数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数 A，使得对于任意正整数 都有 ？并n(*3NfnnTnAT证明你的结论。解析:首先求出 ,xf2)(fbn12)(3 , , ,bTn 1321 2421847615,故当 时, ,221 kkkk kTn因此，对任何常数 A，设 是不小于 A 的最小正整数，m则当 时,必有 .2mnTn1故不存在常数 A 使 对所有 的正整数恒成立.2例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 ,设 内整数坐标点的个数为 .设nxy3,0nDna,nnaS21当 时,求证: . 3617123an解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为n1
14、n 127321nSnnnS()8765()43121,所以原命题得证.2112Tn五、迭代放缩例 25. 已知 ,求证:当 时,411xnnnix112|解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论2n例 26. 设 ,求证:对任意的正整数 k,若 kn 恒有:|S n+kS n|nnS!sii2!1s1n解析: |2)()(| 21kk knnnnn 21|si|!si(|)!i(| 121 kk)2又 所以Cnnn10)( nSkn|六、借助数列递推关系例 27.求证: 12642)(5314231 n解析: 设 则nan)(,从而nn a1)(1,相加后就可以得到n2 12)(1
15、32)(121 aan所以 64534 n例 28. 求证: 2)(2解析: 设 则nan)1(,从而111)( nn a,相加后就可以得到nn)2(223311 aa例 29. 若 ,求证:,1n )1(21an解析: n2所以就有 2212121 nann七、分类讨论例 30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数nnS.,)(ann，有4m875m解析:容易得到 ,.)1(23nna由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论：当 且 为奇数时n 123)2(11 nnn（减项放缩） ，于是)2(231当 且 为偶数时4mma54 )()(1654 maa.8732)1(3)(2
16、3 m当 且 为奇数时 （添项放缩）由知 由得证。54 154m .87154ma八、线性规划型放缩例 31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。21()xfR3()afxba解析:由 知 即 2()101()2fx由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ，最大值为()fx()fx12因此对一切 ， 的充要条件是，R3ab3ab即 ， 满足约束条件 ，ab132ab由线性规划得， 的最大值为 5九、均值不等式放缩例 32.设 求证.)1(321nSn .2)1(nS解析: 此数列的通项为 .,kak， ，)(k)(1nk即 .2)(2Sn注：应注意把握放缩的“度” ：上述不等式右边放缩用
17、的是均值不等式 ，若放成 则得2ba1)(k，就放过“度” 了！)1(3)(1kSn根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 naaan2111 其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。3,2例 33.已知函数 ，若 ，且 在0 ，1上的最小值为 ，求证：bxaf1)(54)(f)(xf21.21)(2)(nff解析: )(1024 nfxf .)()()21( 1n例 34.已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .ba,1baN12)(nnba解析: 由 得 ，又 ，故 ，而42)(ba4，nrnnn CC10)(令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 =baf )(f 11 nrabC iniC)(2nf，)(111 bnnrrrnn 而 ，214 nbaa则 = ，所以 ，即)(2f )()(11 rnrnrrnrnn baC 2(n1)(nf2n对每一个 ， .N12)(nba例 35.求证 ),(321 Nnnn 解析: 不等式左 = ，CC 1212nn n12 2原结论成立.
