1、高一数学选修课系列讲座（一）-分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如 的函数称为分式函数。如 ， ， 等。2(,)axbcydefRdef21xy2yx413xy2、分式复合函数形如 的函数称为分式复合函数。如 ， ，2)(,)(fxabcff 21xsin2x等。13xy二、学习探究探究任务一：函数 的图像与性质(0)byax问题 1： 的图像是怎样的？(,cdR例 1 画出函数 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。21yx小结： 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”(,)axbycdR的处理方法。分式函数 的图像与性质：
2、 (,)x（1）定义域： ； （2）值域： ；（3）单调性： 单调区间为 ；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；（5）奇偶性：当 时为奇函数；（6）图象：如图所示 xOy xOyyaxOyaxOyaxOxOyaxyaxba2O问题 2： 的图像是怎样的？(0)byax例 2、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。11yx小结：分式函数 的图像与性质：(,0)byax（1）定义域： ； （2）值域： ；（3）奇偶性： ；（4）单调性：在区间 上是增函数，在区间 上为减函数；（5）渐近线：以 轴和直线 为渐近线；（6）图象：如右图所示例 3、
3、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。yx11yx结合刚才的两个例子，思考 与 的图像又是怎样的呢？1yxyx思考 与 的图像是怎样的呢？ 的图像呢？12+yx23(,0)baRa小结： 的图像如下：(,0)baR（i） (ii) (iii) yx(0,)b(,0)b(iv) (0,)byax的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。(,0)byaxRa探究任务二：函数 的图像与性质2(,)axbcydefRdef问题 3：例 4 函数 的图像是怎样的？单调区间如何？1思考：函数 的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？21xy小结：对于分式函数 而言，分
4、子次数高于分母时，可以采用问题 3 中的方2(,)abxcdefRdef法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为 0） ，再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：2211(1)2()3xy xx巩固练习：1、若 则 的最小值是 ；,3,xyRyxy2、函数 的值域是 ；243、已知 内单调递减，则实数 的取值范围是 ；1(),axfa4、不等式 的在 2内有实数解，则实数 的取值范围是 ；05、不等式 的在 ,
5、1内恒成立，则实数 的取值范围是 ；2xa6、已知 在区间 单调递减，求 的取值范围是 ；()f3)a7、函数 的值域是 21xy8、定义在 上函数 ，集合 为实数，且对于任意 ，且存在常数 ，对于R()fAa ,()xRfa恒 成 立 mA任意 ，均有 成立，则称 为函数 在 上的“定下界” 若 ，则函数 在 上nAmn()fx 21()xf()fxR的“定下界” _9、设 (),0+)1afxx（1）当 时，求 的最小值； （2）当 时，判断 的单调性，并写出 的最小值。4(f (0,1)a()fx()fx10、已知函数 的定义域为 （ 为常数）. ()2afx0,2a（1）证明：当 时，
6、函数 在定义域上是减函数；8()yfx（2）求函数 在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时 的值。()yfx x11、 （1）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；()log4,(0,1)afxaxRa（2）若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围。l,af12、已知函数 有如下性质：如果常数 ,那么该函数在 上是减函数，ayx0a(0,a在 上是增函数。,)（1）如果函数 在 上是减函数, 在 上是增函数，求实常数 的值；2byx(044,)b（2）设常数 ，求函数 的最大值和最小值。1,c(12cyx分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如 的函数称为分式函数。如
7、， ， 等。2(,)axbcydefRdef21xy2yx413xy2、分式复合函数形如 的函数称为分式复合函数。如 ， ，2)(,)(fxabcff 21xsin2x等。13xy二、学习探究探究任务一：函数 的图像与性质(0)byax问题 1： 的图像是怎样的？(,cdR例 1、画出函数 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。21yx【分析】 ，即函数 的图像可以经由函数 的图像向右平移 1()21x21xy1yx个单位，再向上平移 2 个单位得到。如下表所示： 2211yxx 右 上由此可以画出函数 的图像，如下：1xxOy xOy12xOy1单调减区间： ；(,1)值
8、域： ；2对称中心： 。,【反思】 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？(,)axbycdR【小结】 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数 的图像与性质 (,)axbycd（1）定义域： ；|dxc（2）值域： ；|ay（3）单调性： 单调区间为 ；(,)(,+)dc（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；axyc(,)dac（5）奇偶性：当 时为奇函数；0ad（6）图象：如图所示 xOy xOy问题 2： 的图像是怎样的？(0)byax例 2、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函
9、数具有的性质。11yx【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求） ，关键点坐标（最值点、与坐标轴交点） 、辅助线（对称轴、渐近线） 。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数的定义域为： ；|0x根据单调 性定义，可以求出 的单调区间1y增区间： (,1,)减区间： 0)函数的值域为： ,2,函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为： yx0函数的图像如下： xOyxOy1yx【反思】如何绘制陌生函 数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数 的图像与性质：(,0)byax（1）定义域： ；|（2）
10、值域： ；2,2a或（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间 上是增函数，(,+)b在区间 上为减函数；0,0a（5）渐近线：以 轴和直线 为渐近线；yx（6）图象：如右图所示 yaxbaba2xOy例 3、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。yx11yx【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出 的图像解：函数的定义域为： ；|0根据单调性定义，可以判断出 的单调性，单调增区间为：1yx(,0)函数的值域为： R函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为： ,yx0函数的图像如下： xOyxOy1yx【反思】结合刚才的两 个例子， 与 的图像又是怎样的呢？思考
11、 与1yxyx12+yx的图像是怎样的呢？ 的图像呢？23yx(,0)byaxRa函数 的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。1 xOyyxxOyyx1y【注】 ，由于 与 的图像关于 轴对称，所以还可以根据()yxx()yfx()fxx的图像，对称的画出 的图像。同样的道理 的图像与 的图像关于 轴111y1yxx对称，所以图像如下： xOyxOy1yx 1【小结】 的图像如下：(,0)byaxRa（i） 0yaxOy(ii) (0,)byaxyaxxO(iii) (0,)byaxyaxxO(iv) 来源:学+科+网 Z+X+X+K(0,)byax xOyyax的单调性、值域、奇偶性
12、等，可以结合函数的图像研究。(,0)byaxRa探究任务二：函数 的图像与性质2(,)axbcydefRdef问题 3：函数 的图像是怎样的？单调区间如何？1【分析】22()3(1)2(1)3xxy x1 下 2y 下所以 的图像 与 的图像形状完全相同，只是位置不同。21xy2yx图像的对称中心为： (,3)单调增区间为： 0单调减区间为： 2,1,值域： (,7)图像如下： xOy1273【反思】函数 的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？21xy【小结】对于分式函数 而言，分子次数高于分母时，可以采用问题 3 中的2(,)abxcdefRdef方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为 0） ，再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：2211(1)2()3xy xx例 1、若 则 的最小值是_,3xyRxy
