1、第二节 定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数 在区间 上连续，并且设 x 为 上的任一点，于是， 在区间上的定积分为这里 x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限 x 在区 间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以 x 为自变量的函数 ，我们把 称为函数 在区间 上变上限函数记为图 5-10从几何上看，也很显然。因为 X 是 上一个动点，从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点 x 的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦
2、的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度 作直线运动，那么在时间区间 上所经过的路程 s 为图 5-11另一方面，如果物体经过的路程 s 是时间 t 的函数 ，那么物体从 t=a 到 t=b所经过的路程应该是（见图 5-11）即由导数的物理意义可知： 即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分 ，应先求出被积函数 的原函数 ，再求 在区间 上的增量即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 的一般方法：设函数 在闭区间 上连续， 是 的一个原函数，即 ，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公
3、式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1 计算因为 是 的一个原函数所以例 2 求曲线 和直线 x=0、x= 及 y=0所围成图形面积 A(5-12)解 这个图形的面积为图 5-12二、定积分的性质设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A 为常数 )性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。性质3 积分的上、下限对换则定
4、积分变号，即以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。性质4 如果将区间 分成两个子区间 及 那么有这个于区间分成有限个的情形也成立。下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。当 acb 时，从图5-13a 可知，由 y=f 与和 x=a x=b 及 x 轴围成的曲边梯形面积:图 5-13a图 5-13b因为 所以即性质4成立。当 abc 时，即点 c 在 外，由图5-13b 可知，显然，性质4也成立。总之，不论 c 点在 内还是 外，性质4总是成立的。例3 求例 4 求解 =例 5 求解所以例 6 求解 于是， 例 7 设 求解 因为 所以= =例8 火车以 v=72km/h 的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度 a=-5m/ 刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度刹车后火车减速行驶。其速度为当火车停住时，速度 ，故从解得 于是在这段时间内，火车走过的距离为=即在刹车后，火车需走过40m 才能停住。习题 5-21 求下列定积分：（1） (2) (3) (4) (5) （6）(7)(8) (9) (10) (11)设2.求由 与直线 x=1,x=2及 x 轴所成的图形的面积。
