1、主讲：主讲： 徐泽林徐泽林天津师范大学数学科学学院http:/59.67.71.237:8080/006/index.htmzelinxuS序言序言8.1 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现8.2 从四元数到超复数从四元数到超复数8.3 布尔代数布尔代数8.4 代数数论代数数论第八章 代数学的新生（十九世纪数学之一）序言序言(一一 )、 18世纪的数学悲观主义世纪的数学悲观主义从 17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在 18世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪。拉格朗日于 1781年在写给达朗贝尔的信中说： “在我看来似乎（
2、数学的）矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它， 科学院中几何学（指数学）的处境将会有一天变成目前大学里阿拉伯语的处境一样，那也不是不可能的。 ”欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法兰西学院一份 关于 1789年以来数学科学进展的历史及其现状的报告 更是预测在数学的 “几乎所有的分支里，人们都被不可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩下来惟一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了 ”。这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为 17、 18世纪数学与天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合
3、变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。 18世纪末出现的数学悲观主义具有深刻的认识论背景。 (二二 )、数学发展的动力、数学发展的动力(三三 )、 18世纪末数学悲观内部遗留的问题世纪末数学悲观内部遗留的问题从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一种数学理论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。过于看重数学进展对现实需要的依赖，而忽视数学发展的内在动力，难免产生对数学发展前景的悲观预见 . 生产实践的
4、需要数学发展的动力数学发展的动力 数学内部的矛盾 数学家的求知欲实际上，就在 18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时的数学家们面临着一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：（ 1）高于四次的代数方程的根式求解问题；（ 2）欧几里得几何中平行公理的证明问题；（ 3）牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。在 19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。 8.1 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现发现者：发现者： 阿贝尔阿贝尔 伽罗瓦伽罗瓦发展者：发展者： 凯莱凯莱 若尔当若尔当 F.克莱因克莱因 李李中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成
5、是解代数方程的学问。直到 19世纪初，代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。 二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。接下来，让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存在性。但是寻求这种解法的努力却都以失败而告终。二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。接下来，让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解
6、出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存在性。但是寻求这种解法的努力却都以失败而告终。 Niels Henrik Abel(1802 1829）挪威数学家。 1802年 8月 5日生于芬岛一个牧师家庭 ,1829年 4月 6日卒于弗鲁兰。 13岁入奥斯陆一所教会学校学习 ,年轻的数学教师 B.M.霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才 ,对他给予指导。少年时 ,阿贝尔就已经开始考虑一些数学问题。 1821年在一些教授资助下 ,入奥斯陆大学。在学校里 ,他几乎全是自学 ,同时花大量时间作研究。 1824年 ,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。为了能有更多的读者 ,
7、他的论文以法文写成 ,也送给了 C.F.高斯 ,可是在外国数学家中没有任何反响。 1825年 ,他去拍林 ,结识了 A.L.克雷尔 ,并成为好友。他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志。第 1卷（ 1826）刊登了 7篇阿贝尔的文章 ,其中有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有很多他的文章。 1826年阿贝尔到巴黎 ,遇见了 A.M.勒让德和 A.L.柯西等著名数学家。他写了一篇关于椭圆积分的论文 ,提交给法国科学院 ,不幸未得到重视 ,他只好又回到拍林。克雷尔为他谋求教授职位 ,没有成功。 1827年阿贝尔贫病交迫地回到了挪威 ,靠作家庭教师维生。直到阿贝尔去世前不久
8、,人们才认识到他的价值。1828年 ,四名法国科学院院士上书给挪威国王 ,请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置 ,勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。次年 4月 6日 ,不到 27岁的阿贝尔就病逝。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世后的第二天才送出。此后荣誉和褒奖接踵而来 ,1830年他和 C.G.J.雅可比共同获得法国科学院大奖。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外 ,他还研究了更广的一类代数方程 ,后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他 ,后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数 ,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的
9、推动者。8.1.1 阿贝尔阿贝尔阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如R(x,y)dx的积分 (现称阿尔贝积分 )，其中 R（ x, y）是 x 和 y 的有理函数 ,且存在二元多项式 f, 使 f ( x , y)=0。 他还证明了关于上述积分之和的定理 ,现称阿贝尔定理 ,它断言 :若干个这种积分之和可以用 g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来 ,其中 g只依赖于 f,就是 f的亏格。阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路 ,并深刻地影响着其他数学分支。 C.埃尔米特曾说 :阿贝尔留下的思
10、想可供数学家们工作 150年。阿贝尔铜像阿贝尔中学时代的笔记Evariste Galois(1811 1832）8.1.2 伽罗瓦伽罗瓦尽管 1824年 阿贝尔 完全证实了拉格朗日的命题： “不可能用根式解四次以上方程 ”，粉粹了人们对根式求解五次以上代数方程的奢望，而且没有忘记给出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为 “阿贝尔方程 ”。在此过程中，阿贝尔已在实际上引进了 “域 ”这一重要的近世代数思想。然而数学家们并不满足，他们又开始追问：究竟什么样的特殊方程能够用根式来求解？在其 1829-1831年间完成的几篇论文中，一位同样年青的法国数学家 伽罗瓦 对此做出了解答。 伽罗
11、瓦的思想是将一个 n次方程 的 n个根（由代数基本定理可知） x1、 x2 、 、 xn作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称 “置换 ”。为了容易理解起见，我们以四次方程的四个根 x1、 x2 、 x3 、 x4为 例，在包含这些 xi 的 任何表达式中交换 x1和 x2 就是一个置换，用来表示。另一个置换用表示。第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换 我们说头两个置换按上述顺序作成的 “ 乘积 ” 就是第三个置换，即 P1 P2 = P3 .对于四次方程的情形，易知共有 4！ =24个可能的置换。这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换
12、，伽罗瓦称之为 “ 群 ” 。这是历史上最早的 “ 群 ” 的定义，不过它只是针对一个具体的群（ 置换群 ）所作的定义，还不是抽象群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。 进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的 “ 子群 ” 。这个群，伽罗瓦称之为 “ 方程的群 ” ，也就是我们今天所说的 “ 伽罗瓦群 ” 。它的含义如下：考虑由方程系数的 有限次加、减、乘、除运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合，现在叫方程的 “ 基本域 ” ，并记为 F = Q ( a1, a2 , , an )， Q为 有理数域， a1, a2 , , an 是方程的系数，但伽罗瓦没有用 “ 域 ” 这个名称。伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群，这些置换保持方程的根以 F 的元素为系数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说明这个重要的概念。 设方程 ，其中 p、 q 是独立的，令 F 是 p , q的有理表达式形成的域（基本域），如 就是这样一个表达式。这个方程的四个根：是我们已经知道的，并且容易看出这些根的系数在 F中的下列两个关系成立：x1 + x2 = 0, x3 + x4 = 0 ,可以验证，在方程根的所有 24个可能置换中，下面 8个置换
