1、几何与拓扑徐新军几何 小学：计算规则图形的体积、面积和周长，利用直尺和圆规作图 中学：平面几何、解析几何 大学：立体几何、高维的解析几何 更细的分类：欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、分形几何、拓扑学等等 我们大家都比较熟悉的是：平面几何和立体几何，研究研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系 几何学范畴 欧氏几何 : 与生活息息相关 ,公元前 3世纪 ,欧几里得 几何原本 ,平面三角 15世纪成形 ,勾股定理现已经有 370多种证明 射影几何 :应用于航空航天 ,射影测绘 ,由笛沙格 帕斯卡 1639年开辟 ,成形于 1847彭赛勒 解析几何 :笛卡
2、尔 ,费马 1637,产生了代数几何 非欧几何 :罗巴契夫斯基 1826鲍尔 1832开创 ,黎曼 1854年 丰满 ,1899年 Hilbert成形 微分几何 :研究一般的曲线和曲面在 “小范围 ”上的性质的数学分支学科 ,法国数学家蒙日 1807年 分析在几何学上的应用 最早 , 1827年，高斯 关于曲面的一般研究 ,陈省身去巴黎跟从嘉当微分几何 ,进而得到陈类 ,获 1984年 wolf奖 拓扑学 :欧拉开端 ,庞加莱建立 ,Hausdoff成形 ,现在有很多分支 ,如 :代数拓扑 ,几何拓扑 ,微分拓扑 ,低维拓扑等等 分形几何 ,非常漂亮的几何图形 ,有着令人难以自信的事情 :无限
3、长的鉴定闭曲线可以围住有限面积 ,一条连续曲线可以填满整个平面 . Koch曲线于 1904 和 Hilbert曲线 (德国数学家 David Hilbert)拓扑 拓扑学的英文名是 Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。 拓扑学是几何学的一个分支 ，不考虑图形的大小、形状，而是考虑其在拓扑变换的不变性和不变量等拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。下面的三样东西 从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 拓扑学的由来 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出
4、现了 哥尼斯堡七桥问题 多面体的欧拉定理 ，只存在五种正多面体（ 4.6.8.12.20）。 四色猜想， 1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯 .格思里发现 ,1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。 莫比乌斯带： 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯 (1790 1868)在 1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。 哥尼斯堡七桥问题 四色问题 Mbius带Euler示性数1736年欧拉解决七桥问题1976年 9月
5、四色问题得到解决哥尼斯堡 是东普鲁士的 首都 ，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有 七座桥 ，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步哥尼斯堡七桥问题 一天有人提出： 能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单 ,有很有趣的问题吸引了大家 .很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确理想的答案还不那么容易哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉 ， 欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。 而把七座桥看作这四个点之间的 连线 。那么这个问题就简化成， 能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论 不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。 并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的 “先声 ”。他把两座小岛和河的两岸分别看作 四个点 ，Euler示性数对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做 简单多面体 。棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。 欧拉定理告诉我们，简单多面体的顶点数V、棱数 E及面数 F间有关系： V+F-E=2。
