1、 1矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是 900；4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（如图：OB=OC=OA= AC）21二、例题讲解考点一：矩形的基本性质
2、例 1：如图，在矩形 ABCD 中，AEBD，垂足为 E，DAE=2BAE，那么，BAE=_，EAO=_，若 EO=1，则 OD=_，AB=_，AD=_AEDCBO2练习 1：矩形 ABCD 中, ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,BC 的长为 6,OBC 的周长是 15,求矩形的对角线的长度.练习 2：如图，在矩形 ABCD 中，CEBD，E 为垂足，DCEECB31，求ACD.例 2：如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是 86cm，对角线长是 13cm，那么矩形的周长是多少?练习 1：矩形 ABCD 中, ,对角线 AC 与 BD 相交于点
3、 O,已知矩形 ABCD 的面积是 12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。3例 3：如图，在矩形 ABCD 中，相邻两边 AB、BC 分别长 15cm 和 25cm，内角BAD 的角平分线与边 BC 交于点 E试求 BE 与 CE 的长度练习 1：如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点试说明BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系例 4：（2009 年广西钦州）已知：如图 1，在矩形 ABCD 中， AF BE求证： DE CF；A D C B 图 1 F E 练习 1：如图，矩形 ABCD 中，E 为 AD 中点，BEC 为直角，矩形 ABCD 的周长是 20，求
4、 AD、AB 的长。AB CDE4练习 2：（2009 年衢州）如图，四边形 ABCD 是矩形， PBC 和 QCD 都是等边三角形，且点 P 在矩形上方，点 Q 在矩形内求证：（1） PBA= PCQ=30；（2） PA=PQACBDPQ考点二：面积法例 1：如图，在矩形 ABCD 中，AB3， BC4， BEAC 于 E试求出 BE 的长练习 1：如图，矩形 ABCD 中， E 点在 BC 上，且 AE 平分 BAC。 若 BE=4， AC =15，则 AEC 面积为（ ）A.15 B. 30 C. 45 D. 60 。AB CED5ODCBA练习 2：如图：在矩形 ABCD 中，两条对角
5、线 AC、BD 相交于点 O，AB=4cm ,AD= cm.34(1)判定AOB 的形状. （2）计算BOC 的面积.练习 3：如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠使点 C 落在点 C处，BC交 AD 于 E，AD=8，AB=4，BE=5,求BED 的面积。 BACD考点三：矩形对角线平分且相等例 1：矩形的两条对角线相交成 60角，较短边与一条对角线之和为 15cm ，则矩形的对角线长为 cm。练习 1：矩形的对角线所成的角之一是 65，则对角线与各边所成的角度是（ ） A57.5 B32.5C57.5、33.5 D57.5、32.56练习 2：矩形两条对角线的夹角是 120，短边长
6、 4cm；则矩形的对角线长 ；练习 3：如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，AOB120，AD5cm，则 AC 。考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例 1：如图，ABC 中，A=2B，CD 是ABC 的高，E 是 AB 的中点，求证：DE= AC127HECDAB练习 1：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 交 BD 于 D，E 为 CB 延长线上一点，连接 AE，M 为 AE 中点且BMDM 于点 M，（1）连接 OM，若 AD=8，CD=6，求 OM 的长。（2）求证：AD+BE=2AO考点四：角平分线例 1：已知，四边形 ABCD 是矩形，CHBD，H 为垂足，AE
7、是BAD 的平分线，交 HC 的延长线于 E。求证：CE=BD。例 2：矩形 ABCD，AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAD 交 BC 于 E，若CAE=15，求BOE 的度数；A DOB E C8CDABEFG例 3：（2009 年佳木斯中考卷第 25 题）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置， AB与 CD 交于点 E.（1）试找出一个与 AED 全等的三角形，并加以证明.（2）若 AB=8， DE=3， P 为线段 AC 上的任意一点， PG AE 于 G， PH EC 于 H，试求 PG+PH 的值，并说明理由.练习 1：如图，E 为矩形
8、ABCD 边 AD 上一点，BE=DE，P 为 BD 上一点，PFBE 于 F，PGAD 于 G。求证：PF+PG=AB。课后练习：1、矩形的两条对角线的夹角为 60，一条对角线与短边的和为 15，对角线长是_，两边长分别等于_2、矩形周长为 36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是_3、如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 中点，BAE=30，AE=4，则 AC=_94、如图，矩形 ABCD 中，AB=2BC，在 CD 上取上一点 M，使 AM=AB，则MBC=_5、已知：如图，矩形 ABCD 中，EFCE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为 16，求 AE 的长
9、6、将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF若 AB3，则 BC 的长为 （ ） A1 B2 C D23A BCD FEOA BCD7、如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止设点 P 运动的路程为x，ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则ABC 的面积是（ ） A10 B16 C18 D20 yx图 1OA BD CP4 9图 2108、 （2009 年遂宁）如图，已知矩形 ABCD 中， AB=4cm， AD=10cm，点 P 在边 BC 上移动，点 E、 F、 G、 H 分别是 AB、 AP、 DP、 DC 的中点.求证： EF+GH=5cm；求当 APD=90o时， 的值GHEF
