1、1中考冲刺数学专题 7探究规律问题【备考点睛】近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较
2、、概括及发散思维的能力及创新意识。【经典例题】类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式例题 1 如图，在 中， ，把边长分别为 ,ABCRt2,1,90ACB321,x， 的 个正方形依次放入 中，请回答下列问题：nx（1）按要求填表：（2）第 个正方形的边长 ；nnx解答：如图，设 ，则 ，相当于搞清楚第一项；0BC1由 ,得 ，而 ，1ARtt 21ACB,1x1xAC解得 即 30x；,21x,32x完全类似地可得 。1搞清楚了递推关系。把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。1 2 3nxABC1x23xABC1x23xBC2（1）依次应填 ； ； （2）94,3
3、278n3例题 2（2010 山东济宁）观察下面的变形规律：1 ； ； ；1241解答下面的问题：（1）若 n 为正整数，请你猜想 ；)1(n（2）证明你猜想的结论；（3）求和： .21342019解答：（1） n（2）证明： .1)(n)1()n)1(（3）原式1 234209 .091例题 3 如图，下列几何体是由棱长为 1 的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 n。解答：我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：3所以 第 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个.n 48n例题
4、4 探索 的正方形钉子板上（ 是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉n子所得到的不同长度值的线段种数：当 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 与 ，所以不同长度值的线段只有 22n 2种，若用 表示不同长度值的线段种数。则 当 时，钉子板上所连不同线段的S;S3n长度值只有 五种，比 时增加了 3 种，即 。2,5,12n5S（1）观察图形，填写下表：钉子数 )(n值2232+342+3+（ ）5（ ）（2）写出 和 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；)1(n)(（用式子或语言表述均可）。（3）对 的钉子板，写出用 表示 的代数式。)( S解答：当 时，钉子板上所连不同线
5、段的长度值只有 。（这些是4n 2,5,1时已有的）， （新增加的）即左下角的钉子分别和最上一行四23,10,个钉子的所连线段的长（第一层归纳）； 时比 时多出 3 个种数； 时3n4n比 时多出 4 个种数; 时比 时多出 个种数;-(第二层归纳).3n)(n)1(n4有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;(2) 的钉子板比 的钉子板中不同长度值的线段种数增加了 种;)(n)1(n n(3) .S.432归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.类型二、借助于函数思
6、想，得到表示变化规律的代数式例题 5 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线 把绳子a剪断时，绳子被剪为 5 段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线 把绳子再剪一次时，绳)/(ab子就被剪成 9 段。若用剪刀在虚线 之间把绳子再剪 次（剪刀的方向与 平行），ba, 2n这样一共剪 次时绳子的段数是（ ）nA、 B、 C、 D、14243454解答：我们先找出图 1，2，3，4 中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序号每增大 1，段数值就增大 4，应呈一次函数关系。设为，由（1，1），（2，5）得：bkny即 。34ny本题要求的是
7、“剪 次” ，实际上是序号 所对应的图，其中绳子的段数应为1n。1)(答：应选 A。说明：对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪 刀则是第 个图，二者不应弄混。n1当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数 ”与绳子段数 之间的关系，那就有（0，1），ny（1，5），（2，9），（3，13）仍借助于待定系数法求出函数关系式 ,最后1ny的结果是一样的.5例题 6 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为 ，则 （用含 的代数式表示）。nmn解答：题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5）
8、，（2，8），（3，11），（4，14），序数 （自变量）每增大 1，对应的函数值 就增大 3。因此，它们就应nm当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。设 ，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：bkm23n答： m说明：就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。例题 7 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图 (2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,，则第
9、 个图形中，其有 个六边形。n解答：图形序号 与图形中正六边形的个数 满足（1，1），（2，4），（3，7）， 每nmn增大 1， 就增大 3，可知 是 的一次函数，用待定系数法（略）求得mn 23m类型三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式例题 8（2010 贵州贵阳）如图，在直角坐标系中，已知点 的坐标为（1,0），将线段0M绕原点 O 沿逆时针方向旋转 45 ，再将其延长到 ，使得 ，得到0M 1001O6线段 ；又将线段 绕原点 O 沿逆时针方向旋转 45 ，再将其延长到 ，使得1OM1 2M，得到线段 ，如此下去，得到线段 ， ， 22 3O4nO（1）写出点 M5 的坐标；（
10、2）求 的周长；6（3）我们规定：把点 （ 0,1,2,3）)(nyx， 的横坐标 ，纵坐标 都取绝对值后得到的新坐标nxn称之为点 的“绝对坐标”根据图中点ny, nM的分布规律，请你猜想点 的“绝对坐标”，并写出来（4 分） nM解答：（1）M 5（4，4）（2）由规律可知， , ，25O246586O 的周长是658（3）解法一：由题意知， 旋转 8 次之后回到 轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点0x分别落在坐标象限的分角线上或 轴或 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为n xy非负数，因此，点 的“绝对坐标”可分三类情况：nM令旋转次数为 当点 M 在 x 轴上时: M 0（ ），
11、 M4（ ）， M8（ ） ， M12（,)2(00,)2(40,)2(8） ,，0)2(1即： 点 的 “绝对坐标 ”为（ ）。n,)(n 当点 M 在 y 轴上时: M2 ， M6 ， M10 ， M14 ,，)(,02)(,06)2(,01)2(,014即： 点 的 “绝对坐标 ”为 。nn 当点 M 在各象限的分角线上时： M1 ， M3 ，M 5)(,0)(,2，M 7 ,，即： 的 “绝对坐标 ”为 。)2(,4)2(,6n )(,11nn解法二：由题意知， 旋转 8 次之后回到 轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点分别落在0Ox坐标象限的分角线上或 轴或 轴上，但各点“绝对坐标”的
12、横、纵坐标均为非负数，因此，xy各点的“绝对坐标” 可分三种情况：当 时（其中 =0，1，2，3，），点在 轴上， 则 （ ）kn2xnM20,当 时（其中 =1，2，3，），点在 轴上， 点 （ ）ky 7当 =1，2，3，时，点在各象限的分角线上，则点 （ ）n 12nM1,n例题 9 如图，已知 的面积 。ABC1ABCS（1）在图（1）中，若 则 ；,2141CBA（2）在图（2）中，若 ，则3232S（3）在图（3）中，若 则 ；,413ABCA1673CBA按此规律，若 ，则 。988 8S（1） （2） （3）解答：其实不用管图（1），（2），（3），可直接计算 的面积即可，实际
13、上8CBA表示 边 上的高） 边 AB(88hASC 8CAABh为)(91(2上的高） BS12同理， ， 均等于 ，得8ABS8BCAC。279138 C例题 10（2010 广东中山）阅读下列材料：，)02(1，3143，)5(由以上三个等式相加，可得 .205431321AB C2A2 AB C33B CA11AA8读完以上材料，请你计算下列各题：（1） （写出过程）；10432（2） = ；)(n（3） = 9875解答：（1） 10432= + +)10()32()109210(= 23=440（2） )(1n（3） 9875432= + +)04()43212(1+ 987619
14、87= 041=1260【技巧提炼】规律探索性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出,需要通过观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论和条件, 解答这类问题的关键是认真审题,掌握规律,合理推测,认真验证,从而得出问题的正确结论.研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：1、以归纳概括为指导的思考方法；这类问题思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。2、以函数思想为指导的方法；这类问题的思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类
15、别做出解答。3、以直接计算为指导的方法。这类问题的思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。9【体验中考】1（2010 山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）（A）15 （B）25 （C）55 （D）12252世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是（ ）A、 B、
16、C、 D、1336014951601仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第 3 行中，如第 7 行中， 依（1）和（2）可知：第 9 行左数第 2 个36,.43015数为 ；第 10 行左数第 2 个数为 ，第 10 行左数第 3 个数应为218 90360973（2010 安徽中考）下面两个多位数 1248624、6248624，都是按照如下方法得10到的：将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位。对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3
17、位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是（ ）（A）495 B）497 C）501 D）5034（2010 广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第 n 个“口”字需用棋子A4n 枚 B(4n-4)枚 C(4n+4) 枚 D n2 枚5（2010 广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出 的末位数字是（ ）0121=2，2 2=4，2 3=8，2 4=16，2 5=32，2 6=64，2 7=128，2 8=256，A2 B4 C6 D86（2010 江苏淮安）观察下列各式： 12301413523计算：3(12+23+34+99100)=A979899 B9899100 C99100101 D1001011027（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 点开始A按 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2010 厘米后停下，则这只蚂蚁停在 BCDEFG点8. 观察下列等式： ， ， ， ， ，,21483162432564通过观察，用你所发现的规律确定 的个位数字是 。,.1287 0第 2 个“口”第 1 个“口” 第 3 个“口” 第 n 个“口” ？CA FDEBG
