1、 第 1 页 共 11 页平行线分线段成比例知识梳理 1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果 ，则 ， ， .1l 2 3lBCEFADABCDEFl3l2l1FEDCBA2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 ，则DEBC AEDBC AB CD EE DCBA3. 平行的判定定理：如上图，如果有 ，那么 。AEB专题讲解 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例 1】 如图， ，且 ,若 ，求 的长。DEBC E510BAC， ED CBA【例 2】 如图，已知 ，若 ， ， ，求证： ./ABEFCDABaCDbEFc1cabFEDCBA【巩固】如图， ，
2、 ，垂足分别为 、 ， 和ABDCBBDAC相交于点 ， ，垂足为 .证明： .BDEFF1AEF FE DCBA专题二、定理及推论与中点有关的问题第 2 页 共 11 页【例 3】 （2012 年北师大附中期末试题）（1）如图（1） ，在 中， 是 的中点， 是 上一点，且 ，ABCMAEAB14AEB连接 并延长，交 的延长线于 ，则 _.EMDC（2）如图（2） ，已知 中， ， ， 与 相交于 ，则:1:3EB:2:1DCF的值为（ ）A. B.1 C. D.2FACD523 (1)MEDCBA(2)FED CBA【例 4】 （2011 年河北省中考试题）如图，在 中， 为 边的中点，
3、 为AE边上的任意一点， 交 于点 .ACBEADO（1）当 时，求 的值；12（2）当 时，求 的值；34、（3）试猜想 时 的值，并证明你的猜想.1AECnD【例 5】 （2013 年湖北恩施中考题）如图， 是 的中线，点 在 上，ADBCEADF是 延长线与 的交点.（1）如果 是 的中点，求证： ；BE12AF（2）由（1）知，当 是 中点时， 成立，若 是 上任意一点（ 与 、EA12FC不重合） ，上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.D FED CBA【巩固】 （天津市竞赛题）如图，已知 中， 是 边上的中线， 是 上的一点，ABCDBA且 ，延长 交 于
4、 。求证： 。BEACBEFEF FED CBA【例 6】 （宁德市中考题）如图， 中， 为 边的中点，延长 至 ，ABCDAED CBAO第 3 页 共 11 页延长 交 的延长线于 。若 ，求证: 。ABCEP2ADE3APB P EDCB A专题三、利用平行线转化比例【例 7】 如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，直线 平行于 ，且ABCDBOlB与 、 、 、 及 的延长线分别相交于点 、 、 、 和 .ABDCMNRS求证： PMNRSlSRPNMO DCBA【巩固】已知，如图，四边形 ，两组对边延长后交于 、 ，对角线 ，ABCDEFEF的延长线交 于 求证： ACEFGEGF
5、G FECDBA【例 8】 已知： 为 的中位线 上任意一点， 、 的延长线分别交对PABCMNBPC边 、 于 、 ，求证：ACBDE1DE P NME DCBA【例 9】 在 中，底边 上的两点 、 把 三等分， 是 上的中ABCEFBCAC线， 、 分别交 于 、 两点，求证：EFMGH:5:32GHM MHGFE CBA【例 10】 如图， 、 为 边 上的两点，且满足 ，一条MNABCBMNC平行于 的直线分别交 、 和 的延长线于点 、 和 .AC DEF第 4 页 共 11 页求证： .3EFDFNMEDCBA【例 11】 已知：如图，在梯形 中， ， 是 的中点，分别连ABCD
6、/MA接 、 、 、 ，且 与 交于点 ， 与 交于 .ACBDMMEBCF（1）求证： /EFC（2）若 , ，求 的长.abEF FEMD CBA【巩固】 （山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形 中， ，ABCDBC, ，若 ，且梯形 与梯形 的周长相396ADBCA， ， 4DEF EFF等，求 的长。EF FEDCBA【例 12】 （山东省竞赛题）如图， 的对角线相交于点 ，在 的延ABCDOA长线上任取一点 ，连接 交 于点 ，若 ,求 的值。EOFaAcBEb， ， F O FED CBA第 5 页 共 11 页【例 13】 已知等腰直角 中， 、 分别为直角边 、 上的点，且 ，过
7、ABCEDBCACED、 分别作 的垂线，交斜边 于 ， EDEABLK求证： BLK L KE DCB A过手练习【习题 1】 如已知 ， ，求证： .DEAB 2OCEADBC DOECBA【习题 2】 在 中， ， 的延长线交 的延长线于 ， 求证：ABCDEBCP.DP PEDCBA第 6 页 共 11 页【习题 3】 如图，在 的边 上取一点 ，在 取一点 ，使 ，ABCDACEAD直线 和 的延长线相交于 ，求证：DEBPBE PEDCBA专题讲解1选择题（1）如图 5-27，ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，下列条件中，能判定 DEBC 的是（ ）图 5-27A B
8、 AECDDBECAC D（2）如图 5-28， ， 与 交于点 P，PAa，AB b，BC c，PD d，DEe，EFf，321/ll45l则 bf（ ）图 5-28Aab Bbd Cae Dce（3）如图 5-29，ABC 中， ，则 OEOB （ ）21ACEB第 7 页 共 11 页图 5-29A B C D21314151（4）如图 5-30，已知 BNAM，NDMC，那么有（ ）图 5-30A BNMPDPDCAC D以上答案都不对B（5）如图 5-31，H 为 ABCD 中 AD 边上一点，且 AH DH，AC 和 BH 交于点 K，则 AKKC 等于（ 21）图 5-31A12
9、 B11 C13 D232填空题（1）如图 5-32，梯形 ABCD 中，AD BC ，延长两腰交于点 E，若 AD2，BC 6，AB 4，则_， _；EE第 8 页 共 11 页图 5-32（2）如图 5-33，梯形 ABCD 中，DCAB，DC4，AB7，且 MNPQ AB，DMMPPA，则MN_，PQ_ ；图 5-33（3）如图 5-34，梯形 ABCD 中，ABCD，M 为 AB 中点，分别连结 AC、BD、MD、MC，且 AC与 MD 交于 E，BD 与 MC 交于 F，则 EF 与 AB 的位置关系是_；3如图 5-35，ABC 中，M 为 AC 的中点，E 为 AB 上一点，且
10、，连结 EM 并延长，交ABE41BC 的延长线于 D，求证：BC 2CD第 9 页 共 11 页4如图 5-36，在ABC 中，EFCD，DEBC，求证： DBAF5如图 5-37，ABC 中，AFFD15，BDDC，求：AEEC6如图 5-38，M 为 ABCD 的边 BC 的中点，F 为 DC 边上的点，BF 交 AM 于 N，交 AC 于 E，且AN3MN，求 FCAB 的值第 10 页 共 11 页7如图 5-39，已知 D 是ABC 中 AB 边上一点，DEBC 交 AC 于 E，连结 CD，过 E 作 EFCD交 AB 于 F，求证： AD 是 AF 和 AB 的比例中项8如图 5-40，已知ABC 中，ABAC，AD BC 于 D，F 为 BC 中点，过 F 作 BC 垂线交 AB 于E，BD6cm，DC4cm，AB8cm，求 AE、BE 的长9如图 5-41，已知ABC 中，ACB90， 13，BC12cm，FEBC 于 E，BFCSA求 EB 的长
