1、数 理 逻 辑Mathematical logicLogic is the science of valid processes of reasoning.Logic is the science of reasoning by formal methods.1910年，美军部队在一次传递命令中的情况是这样的。营长对值班军官说：明晚八点钟左右，将可能在这一地区看到哈雷彗星，这种彗星每隔七十六年才能看见一次。命令所有士兵身穿野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂里集合，我将为他们放映一部有关彗星的影片。值班军官对连长说：根据营长命令，明晚八点哈雷彗星将在操场上空
2、出现。如果下雨的话，就让士兵们身穿野战服前往礼堂，这个罕见的现象每隔七十六年在那里出现。连长对排长说：根据营长的命令，明晚八点，非凡的哈雷慧星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨的话，营长将下达另一个命令，这种命令每隔七十六年才会出现一次。排长对班长说：明晚八点，营长将带着罕见的哈雷慧星在礼堂中出现，这是每隔七十六年才会有的事。如果下雨的话，营长将命令哈雷慧星穿上野战服到操场上去。班长对士兵说：在明晚八点下雨的时候，著名的七十六岁的哈雷将军在营长的陪同下身穿野战服开着那辆 “彗星 ”牌汽车经过操场前往礼堂。小明爷爷卖西瓜的故事小明的爷爷每天在市场上摆摊卖西瓜，每个西瓜卖 2元，三个西瓜卖
3、5元。一天有 3个人一起来买西瓜，他们每人买了一个西瓜，小明的爷爷收了他们 6元。当这 3个人走了之后，小明的爷爷想起应该收他们 5元。小明的爷爷让小明追上去还给他们 1元。小明从爷爷手中接过 1元钱朝那 3个人追去。在路上，小明看到路边有卖糖葫芦的，他就花了 4角钱买了一个糖葫芦。当他追上那 3个人之后，他将剩下的 6角钱还给了那 3个人。在回来的路上，小明想那 3个人每人花了 2元，收回了 2角，为此每个人花了 1元 8角。这样 3个人共花了 5元 4角，加上他买糖葫芦花的 4角，一共是 5元 8角。那么还有的 2角钱跑到哪里去了呢？数理逻辑概述 （ 1）1. 逻辑规律是客观事物在人的主观
4、意识中的反映。2. 逻辑学是一门研究思维形式和思维规律的学科。 逻辑学分为辨证逻辑和形式逻辑两大类。 辨证逻辑是以辩证法认识论的世界观为基础的逻辑学。 形式逻辑是对思维的形式结构和规律进行研究的一门学科。3. 思维的形式结构包括了概念、判断、推理之间的结构和联系。 概念是思维的基本单位。 判断是通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答。 推理是由一个或几个判断推出另一判断的思维形式。数理逻辑概述 （ 2）4. 用数学的方法研究推理的规律称为数理逻辑。 所谓数学的方法是指引入一套数学符号体系，故数理逻辑又称为符号逻辑。 数理逻辑的创始人是 G.Leibniz (1646-1716)5.
5、 数理逻辑的内容： 逻辑演算（命题逻辑、谓词逻辑） 证明论、递归论、模型论、公理集合论等 多值逻辑、模态逻辑、时序逻辑、算法逻辑、程序逻辑。总之，数理逻辑是研究推理的一种理论。其特点在于运用数学上形式化的方法来研究形式逻辑中的推理规律，使形式逻辑的研究归结于对由一整套符号所组成的形式系统的研究。第 1章 命 题 演 算(Propositional calculus)1.1 命题与真值联结词1.2 命题公式与真假性1.3 命题公式间的逻辑等价关系1.4 命题公式间的逻辑蕴涵关系1.5 命题演算的形式推理1.1 命题与真值联结词1.1.1 命题 1.1.2 真值联结词1.1.3 命题符号化 命题是
6、推理的基本要素。 在日常生活中，经常要对某个具体的或抽象的事物进行适当的描述，诸如其特征或者一定的依赖关系等。 一种描述，当通过某种方式说明能够成立时，称这种描述为 真命题 。 一种描述，当通过某种方式说明不能成立时，称这种描述为 假命题 。 在数理逻辑中，真命题与假命题统称为 命题 ，而真与假称为 命题的值 。 1.1.1 命 题1) 任何自然数都有大于它的素数。2) 3是最小的素数。3) 雪是黑的。4) 黑板是白的。5) 别的星球上有生物。6) 任何大于 2的偶数都可以表示成两个素数之和。7) x3 + y3 = z3 在自然数范围内无解。8) 明天开会？9) 把书给我递过来。10) 今天
7、天气多好啊！11) 我专给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。1、可以立即得知真假的语句。（陈述句）2、要等若干年以后才知真假的语句。（陈述句）3、没有真假的语句。（疑问句、感叹句、祈使句）4、亦真亦假的语句。（悖论）凡可分辨真假的陈述句是命题。命题有其内容和值。数理逻辑只讨论命题的值，不讨论命题的内容。数理逻辑的特点并不在于研究具体某个命题的真假性，而是把逻辑推理变成类似数学演算的完全形式化的逻辑演算。为此，首先要将推理所涉及到的各个命题符号化。 习惯上，用 P， Q， R， 等大写拉丁字母表示命题； 命题的真与假分别用 “T”与 “F”表示； 用以表示命题的符号称为 命题标识符 ； 表示特定命题的标识符称为 命题常量 ； 表示任意命题的标识符称为 命题变元 ； 当命题变元用特定的命题代入时，该命题变元就有确定的真值或假值。这种代入称为 指派 。 起名字是对特定的命题而言，这时先有命题再有名字。 对指派而言，则先有命题变元，再找命题往里填。 对于同一个命题变元，不同的指派有不同的真假值。
