1、数论试题中的概念和方法数论试题中的概念和方法竞赛中常用的定理： 欧拉定理费马小定理中国剩余定理基本研究对象： 整数涉及的范围： 整除问题同余问题不定方程1、已知 a、 b、 c为正整数 ， 且 是有理数 .求证： 是整数 .证明：因为 为无理数，故 b c 0，于是 上式表示有理数，则有 b2-ac=0.从而 a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca=(a+b+c)2-2(ab+bc+b2)=(a+b+c)(a-b+c).故整除有如下的一些性质： 若 a | b， b | c，则 a | c ； 若 c | a， d | b，则 cd | ab； 若 c | a， c | b
2、，则 c |（ ma nb）； 若 a | b，则 ma | mb，反之亦成立； a、 b互质，若 a | c， b | c，则 ab | c； p为质数，若 p|a1a2 an，则 p必能整除 a1， a2， ， an中的某一个；特别地，若 p为质数， p|an，则 p|a.2、证明：当 n为任何整数时， 36|(2n6 n4 n2).证明： 2n6 n4 n2=n2(2n2 1)(n2 1)，当 n为偶数时， 4|n2；当 n为奇数时， n2被 4除余数为 1，故 4|(n2 1).故 4|n2(2n2 1)(n2 1).当 n 3k（ k Z）时， 9|n2(2n2 1)(n2 1)；当
3、 n 3k1（ k Z）时， n2被 3除余数总是 1， 所以 3|(n2 1)，且 2n2被 3除余数为 2，所以 3|(2n2 1)， 于是 9|(n2 1)(2n2 1)，故 9|n2(n2 1)(2n2 1).所以 36|(2n6 n4 n2).3、 对任意正整数 n，求证： (n +2) (12005 + 22005 + + n2005).分析： 按底数之和为（ n 2）进行配对计算 .k2005 (n 2 k)2005 (n 2)k2004 k2003(n 2 k) +( n 2 k)2004， k2005 (n 2 k)2005能被 n 2整除（ k 2， 3， ） .因式分解公
4、式：对大于 1的整数 n有xn yn =(x y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+ xyn-2+yn-1)；对大于 1的奇数 n有xn+yn =(x+y)(xn-1 xn-2y+xn-3y2 xyn-2+yn-1)；对大于 1的偶数 n有xn yn =(x+y)(xn-1 xn-2y+xn-3y2 + xyn-2 yn-1).同余问题定义 : 设 m是一个给定的正整数 .如果两个整数 a、 b用 m除所得的余数相同，则称 a、 b对模 m同余，记为 ab(modm) . 若 m|(a b)，则称 a、 b对模 m同余 . 若 a=b+mt(t Z)，则称 a、 b对模 m同余 .性质：
5、aa（ mod m） 若 ab（ mod m），则 ba（ mod m） 若 ab（ mod m） ,bc（ mod m） ,则 ac（ mod m） 若 ab（ mod m） ,cd（ mod m） ,则 acbd（ mod m）， acbd（ mod m） ,a nb n（ mod m） 若 n|m， ab（ mod m），则 ab（ mod n） 若 (m， n) 1， ab（ mod m）， ab（ mod n），则 ab（ mod mn） 欧拉定理：若（ a,m） =1，则 费尔马小定理： p是素数，则 apa（ mod p）若另上条件（ a， p） 1，则 ap-11（ mod p） 威尔逊定理：设 p素数，则（ p 1）！ -1（ mod p） .
