1、函数的基本性质31学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性） ，能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程 一、 函数的单调性1单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数 的定义域为 ：如果对于属于 内某个区间上的任意()fxII两个自变量的值 、 ,当 时都有 ，那么就说 在这个区间1x21212()fxf()fx上是增函数。（
2、2）减函数：如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 、 ,当 时1212都有 ，那么就说 在这个区间上是减函数。12()ff()f（3）单调性：如果函数 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数yx在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 的单调区间。yx ()yfx2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间： 21xy（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断：设 ， ， ， 都是单调函数，则 在)(xfy)(gu,ba,nmu()yfgx上也是单调函数。,ba 若 是 上 的 增 函 数 ， 则 与
3、定 义 在 上 的 函 数 的 单 调 性 相)(xfy,mn()yfgx,ba)(xu同 。 若 是 上 的 减 函 数 ， 则 与 定 义 在 上 的 函 数 的 单 调 性)(f,()f,)(g相 同 。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正” ）练习：（1）函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间为 24xy（2） 的单调递增区间为 5123、函数单调性应注意的问题：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义
4、域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 上是增（或减）函数4例题分析证明：函数 在 上是减函数。1()fx(0,)证明：设任意 ， （0，+）且 ，212x则 ，112()ff由 ， （0，+） ，得 ，又 ，得 ，x21202x10x ，即1()ff()fxf所以， 在 上是减函数。,说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如： 不能说xy是原函数的单调递减区间；)0,(),(练习：1 根据单调函数的定义，判断函数 的单调性。3()1fx2根据单调函数的定义，判断函
5、数 的单调性。二、函数的奇偶性1奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，()fxx()fxf那么函数 就叫做偶函数。例如：函数 , 等都是偶函()fx 2()1f4)2f数。（2）奇函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，()f ()(ff那么函数 就叫做奇函数。例如：函数 ， 都是奇函数。()fx xf)(xf)(（3）奇偶性：如果函数 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 具有奇偶性。f f说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2） 或 必有一成立。()fxf()(fxf因此，判断某一函数的
6、奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算 ，看是等于 还是等于 ，然后下结论；若定义域关于原点不()f()f()fx对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足0)(xf也满足 。)(f)()(xff（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。y（6）奇函数若在 时有定义，则 0x(0)f2、函数的奇偶性判定方法（1）定义法（2）图像法（3）性质罚3例题
7、分析：判断下列函数的奇偶性：（1） （ ） （2） （ ）2()|fx21()|xf说明：在判断 与 的关系时，可以从 开始化简；也可以去考虑()f(fx()f或 ；当 不等于 0 时也可以考虑 与 1 或 的关系。()f)()f ()fx五小结：1函数奇偶性的定义； 2判断函数奇偶性的方法；3特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。二、函数的最大值或最小值学习评价 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差经典例题1下面说法正确的选项 （ ）A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调
8、增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间 上为增函数的是 （ )0,(）A B 1y 21xyC D2x3函数 是单调函数时， 的取值范围 （ cb)1,(b）A B C D 222b4如果偶函数在 具有最大值，那么该函数在 有 （ ,a,a）A最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值课后作业 1在区间(0，)上不是增函数的函数是 （ ）Ay=2x1 By =3x21Cy= Dy=2x 2x 122函数 y=(x1) -2 的减区间是_ _3偶函数 在 上单调递增，则 从小到大排列的顺()f0,(),3,()2f
9、f序是 ；4已知 是 R 上的偶函数，当 时， ，求 的解析式。fx0xfx()fx5 （12 分）判断下列函数的奇偶性 ； ；xy13y21高中数学必修 1 函数的基本性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)=f (x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x )=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 1由函数的奇
10、偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的 2任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 1确定 f(x)与 f(x)的关系； 2作出相应结论： 3若 f(x ) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x ) =f(x) 或 f(x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设
11、， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()fxg12,D奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+ 偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 2（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)
12、在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间，B 是映射g : xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x 2D，
13、且 x1x2； 1作差 f(x1)f(x 2)； 2变形（通常是因式分解和配方） ； 3定号（即判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ； 4下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 。 5（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；增函数)(xf)(xg)(xf)(xg减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数。3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的xI ，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)
14、 = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的xI ，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I，使得 f(x0) = M； 1函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI，都有 f(x) 2M（f (x)M ） 。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 1利用图象求函数的最大（小）值； 2利用函数单调
15、性的判断函数的最大（小）值： 3如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在x=b 处有最小值 f(b)；4周期性（1）定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)= f(x)常常写作 若 f(x)的周期中，存在一个最小,2()(fxf的正数，则称它为 f(x)的最小正周期；若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f(x)（0）是周
16、期函数，且周期为 。|T四典例解析【奇偶性典型例题】例 1以下五个函数：（1） ；（2） ；（3） ；（4）)0(1xy14xyxy2；xy2log（5） ，其中奇函数是_ _，偶函数是_ _，非奇非偶函)1(2x数是 _点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变） 。题型二：奇偶性的应用例 2设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若当 x0 时，f（x）=log 3（1+x） ，则 f（2）=_ _。例 3已知 奇函数，当 （0，1）时， ，那么当 （1，0）时，()fx
17、x1()lgfxx的表达式是 ()f例 4若奇函数 是定义在（ ，1）上的增函数，试求 a 的范围：()fx2()40fa解：由已知得2(4)faf因 f(x)是奇函数，故 ，于是 2fa2()(4)ff又 是定义在（ 1，1）上的增函数，从而()fx2341 32535aaaa或即不等式的解集是 (,2)【单调性典型例题】例 1(1) 则 a 的范围为( ) ()21),fxaxbR设 函 数 是 上 的 减 函 数A B C D a12(2)函数 )是单调函数的充要条件是( )2(0,yxcA B C D0bbb0(3)已知 在区间 上是减函数， 且 ，则下列表达正确()f,aRb的是（
18、）A B()afa()()ffafbC D()fbb提示： 可转化为 和 在利用函数单调性可得.0ababa(4) 如右图是定义在闭区间上的函数 的图象,该函数的单调增()yfx区间为 例 2画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1） （2）2|1yx2|3|例 3根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数例 4.设 是定义在 R 上的函数，对 、 恒有 ，且当)(xf mRn)()(nfmnf时， 。01f（1）求证： ； （2）证明： 时恒有 ；x0xf（3）求证： 在 R 上是减函数； （4）若 ，求 的范围。)( ()2)1f解：(1)取 m=0，n= 则 ，因为 所以21(0)(
19、ffA()1f(2)设 则 由条件可知0x)xo又因为 ，所以 时，恒有1()fxf ()0fxRx)(f（3）设 则12= =121()fxfff121()(fff121)()ff因为 所以 所以 即120x2x0x又因为 ，所以 所以 ，即该函f11(0ff12ffx数在 R 上是减函数.(4) 因为 ，所以()2)()()(f所以 ，所以20x2xx的 范 围 为 或例 5：（复合函数单调性）1.函数 的增区间是（ ）.3yA 3, 1 B 1,1 C D (,)1,)2.函数 y 的单调递增区间为（ ）8021xA B C D(,)(,)(1,)(8,)题型五：周期问题例 6已知函数
20、是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfxR5T是奇函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又知 在 上是一次函数，在 上是二次函()1yfx()f0,11,4数，且在 时函数取得最小值 。25证明： ；()40f求 的解析式；(),14yfx求 在 上的解析式。9解： 是以 为周期的周期函数， ，()fx5(4)5)(1ff又 是奇函数， ， 。1)y1)(40f当 时，由题意可设 ，,4x2() (0fxaa由 得 ， ，()0f2()545a。21xx 是奇函数， ，()yf (0)f又知 在 上是一次函数，x0,可设 ，而 ，()1)fk2()1)53f ， 当 时， ，3x3x从而当 时， ，故 时， 。10()ff 1x()3fx当 时，有 ，4651 。()3()fxx当 时， ，914 22()5)()5(7)5f x 。23,6(7)9xxf
