1、第三章 数与数系的发展主要内容n原始人类的数感（ Number Sence）n数的抽象概念与数的符号n数域扩张（简称 “ 扩域 ” ）形成五大数系n公理化的方法创造超复数 四元数n一一对应的计数方法 超限数的连续假设3.1 数的起源“ 数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。 ”对数的起源的进程归结为：依赖于本能感觉，形成一一对应的计数方法，建立集合的等价关系并给出其一个标准（或代表集合）规定符号。3.1.1 数感数感，即感知事物多少的心理能力。原始人类较早的 “有 ”与 “无 ”、 “多 ”与 “少 ”的认识某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦的数感3.1.2 一一对应计数法与
2、进位制一一对应的计数方法 例如，是用手指计数物体的个数u荷马（约公元前 98世纪）的诗史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只u澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数 一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念 , 它是数概念发展的重要途径。进位制当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。如，五进制：一五，一十，十五，二十， 十进制，这时从 1到 10的十个数都有自己的特殊名称，而从 11开始，就用10的进位表示了。在英语中， eleven意指 “ 剩下 ” 或 “ 比 10多 1” ， twelve意指 “ 比 10多 2” ， thirteen即 “ 3和 10”， ； twen
3、ty意指 “ 两个 10 ” ，而hundred则指 “ 10个 10” 。古代巴比伦人的六十进位制玛雅数系中的二十进位制计算机技术中的二进位制进位制的转化例如，四进制数（ 3021） 4转化为十进制数的方法为：（ 3021） 4=343+042+14+2=1983.1.3 度量的数 使用具有确定标准的容器、长度（称为单位）等去度量，度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。 度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念，在古代中国的 “ 黄钟起度 ” 的传说图 3.1是西汉末年王莽律嘉量斛的结构示意图；中间大的圆柱为
4、斛量，中间底部圆柱形为斗，左右两边各有一耳，都呈圆柱形，左耳为升量，右耳上为合量、下为龠量。3.1.4抽象的数数与被计算的东西分离开来了，出现了 1， 2， 3， 这些无名数，无名数的出现标志着抽象的数概念的产生，怀特海（ 18611947）： “ 首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人 ” 。p 教育的启示 学会 1、 2、 3， 的概念，并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反，当人们接触到数的符号或名称时，仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。3.1.5 神秘的数神秘数广泛存在于古代人类社会，数字在这里不表示什么同类的序列，也不用于最简单的数学运算，而是利用数本身的神秘性来预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物，它便通过宗教、神话来影响人类的生活。原始人类对自然的认识是有限的，往往借助数 这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为治国的工具。
