1、一、赵爽弦图二、勾股定理证明异趣三、出入相补原理四、体积计算东西谈五、希尔伯特第三问题一、赵爽弦图赵爽，东汉末至三国时代人，其生平已无从详考。他在 周髀算经 序言中说自己根据 周髀算经 的文字内容画了一组图 “ 勾股圆方图 ”，其中第一幅即 “弦图 ”。弦图证明勾股定理“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。 ”如果用 a表示 “勾 ”， b表示 “股 ”， c表示“弦 ”这句话就相当于说 :“案弦图，又可以 勾股相乘为 朱实二 ，倍之为 朱实四 ，以勾股之差 自 相乘 ，为中 黄实 ，加差实亦成 弦实 。 ”b-a 中央黄色小正方形的面积四个红色三角形围成的大正方形的面积ab2*(1/2)
2、ab 4*(1/2)ab商高答周公周公问： 没有梯子可供我们上天，又没有一把合适的尺子可供我们量地那么，怎样确定天有多高、地有多厚呢？商高答：办法是有的，那就是利用勾、股、弦之间的关系，即勾三、股四、弦五。又说： “既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是为积矩。 ”这段话引发了许多讨论，赵爽弦图给出的勾股定理的证明，很有可能是对商高这段文字的诠释。陈子与勾股定理一般形式陈子与勾股定理一般形式陈子论述中最关键陈子论述中最关键之处之处 ： “勾股各自乘勾股各自乘，并而开方除之，得，并而开方除之，得邪至日。邪至日。 ”这与前面提到这与前面提到的赵爽的赵爽 “勾股圆方图勾股
3、圆方图说说 ”中的叙述一致，中的叙述一致，是一般的勾股定理，是一般的勾股定理，只不过在这里是以从只不过在这里是以从天文测量总结天文测量总结 出来的出来的普遍规律的形式出现普遍规律的形式出现而已而已 。根据 周髀算经 ，影周公测日方法大致是这样的：先后两次测量同一圭表在不同处的日影长然后用公式：日高 =（表高 表距） /影长 +表高周公测影台勾股定理与量天测地比赵爽稍晚一些的魏晋数学家 刘徽 写了一部 海岛算经 ，应用勾股定理解决各种测量问题，其中第一个问题是测量海岛的高度。海岛公式：岛高 =（表高 表距） /表目距的差 +表高显然，将 周髀算经 中的日高公式改日高为岛高，就是海岛公式。海 岛
4、公 式毕达哥拉斯二、勾股定理证明异趣勾股定理可以说是人类最早发现、最基本的同时也是应用最广的一条数学定理。 前面已经提到古代中国 周髀算经 中关于勾股定理的记载。古埃及人没有留下这样明显的记录，但他们建造了蔚为奇观的金字塔。古巴比伦则不乏有关勾股定理的记载，巴比伦泥版文书中甚至出现有系列的 “勾股数 ”，即 ： a2+b2=c2 。从毕达哥拉斯到欧几里得在古希腊，传说毕达哥拉斯本人对他发现的定理曾给出过证明。尽管没有任何文字记载，人们仍然对毕达哥拉斯 证明勾股定理的方法作了种种猜测，其中最广为流传的是约公元 2世纪罗马学者普鲁塔克的猜测。普鲁塔克的证法相当于面积剖分法，如图最后可以得到第一个图形中以斜边 c为边的正方形面积等于第二个图形中以直角边 a和 b为边的正方形面积之和，这就是勾股定理。
