1、微积分的创立微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。 解析几何是代数与几何相 结 合的 产 物，它将变 量引 进 了数学，使运 动 与 变 化的定量表述成 为 可能，从而 为 微 积 分的 创 立搭起了舞台。 微 积 分的思想萌芽，特 别 是 积 分学，部分可以追潮到古代。我 们 已 经 知道，面 积和体 积 的 计 算自古以来一直是数学家 们 感 兴趣的 课题 ，在古代希措、中国和印度数学家们 的著述中，不乏用无 穷 小 过 程 计 算特殊形状的面 积 、体 积 和曲 线长 的例子。前面已 经介 绍过 阿基米德、刘微和祖冲之父子等人的方法，他 们 的工作，确 实
2、 是人 们 建立一般 积分学的漫 长 努力的先 驱 。 与 积 分学相比而言，微分学的起源 则 要晚得多。刺激微分学 发 展的主要科学 问题 是求曲线 的切 线 、求瞬 时变 化率以及求函数的极大极小 值 等 问题 。 古希腊学者曾 进 行过 作曲 线 切 线 的 尝试 ，如阿基米德 论 螺 线中 给 出 过 确定螺 线 在 给 定点 处 的切 线 的方法；阿波 罗 尼奥斯 圆锥 曲 线论 中 讨论过圆锥 曲 线 的切 线 ，等等。但所有 这 些都是基于静 态 的 观 点 古代与中世 纪 中国学者在天文 历 法研究中曾涉及到天体运 动 的不均匀性及有关的极大、极小 值问题 ，如郭守敬按 时历
3、中求 “ 月离 迟 疾 ” (月亮运行的最快点和最慢点 )、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极 值 (郭守敬甚至称之 为 “ 极数 ” )等 问题 ，但 东 方学者以 惯 用的数 值 手段 (“ 招差 术 ” ，即有限差分计 算 )来 处 理，从而回避了 连续变 化率。 总 之，在 17世 纪 以前，真正意 义 上的微分学研究的例子可以 说 是很罕 见 的。一、微 积 分的 酝酿 近代微 积 分的 酝酿 ，主要是在 17世 纪 上半叶这 半个世 纪 。 为 了理解 这 一 酝酿 的背景，我 们 首先来 赂 微回 顾 一下 这 一 时 期自然科学的一般形 势 和天文、力学等 领 域 发 生的重
4、大事件。 首先是 1608年，荷 兰 眼 镜 制造商 里帕席 发 明了望 远镜 ，不久 伽利略 将他制成的第一架天文望 远镜对 准星空而作出了令世人惊奇不已的天文 发现 。望 远镜 的 发 明不 仅 引起了天文学的新高 涨 ，而且 推 动 了光学的研究。 1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动 定律。开普勒行星运 动 三大定律要意是： 1.行星运 动 的 轨 道是 椭圆 ，太阳位于 该椭圆的一个焦点； 2.由太阳到行星的矢径在相等的 时间 内 扫过 的面 积 相等； 3.行星绕 太阳公 转 周期的平方，与其 椭圆轨 道的半长轴 的立方成 正比。 开普勒主要是通过观测归纳 出 这 三条定律
5、从数学上推 证 开普勒的 经验 定律，成 为 当 时 自然科学的中心 课题 之一。 1638年，伽利略的关于两 门 新科学的 对话出版。伽利略建立了自由落体定律、 动 量定律等， 为动 力学奠定了基 础 ；他 认识 到 弹道的抛物 线 性 质 ，并断言炮 弹 的最大射程 应在 发 射角 为 45度 时 达到，等等。伽利略本人竭力倡 导 自然科学的数学化，他的著作激起了人 们对 他所确立的 动 力学概念与定律作精确的数学表述的巨大 热 情。 凡此一切，标 志着自文 艺 复 兴 以来在 资 本主 义 生 产 力刺激下蓬勃 发 展的自然科学开始 迈 入 综 合与突破的 阶 段，而 这 种 综 合与突
6、破所面 临 的数学困 难 ，使微分学的基本 问题 空前地成 为 人 们关注的焦点。 当 时 ，人 们 主要集中的焦点有：非匀速运 动物体的速度与加速度使瞬 时变 化率 问题 的研究成 为 当 务 之急；望 远镜 的光程 设计 需要确定透 镜 曲面上任一点的法 线 ， 这 又使求任意曲 线 的切 线问题变 得不可回避；确定炮 弹 的最大射程及 寻 求行星 轨 道的近日点与 远 日点等涉及的函数极大 值 、极小 值问题 也亟待解决。 与此同 时 ，行星沿 轨 道运 动 的路程、行星矢径 扫过 的面 积 以及物体重心与引力的 计 算等又使 积 分学的基本 问题 面 积、体 积 、曲 线长 、重心和引
7、力 计 算的 兴 趣被重新激 发 起来。 在 17世 纪 上半叶，几乎所有的科学大 师 都致力于 寻 求解决 这 些 难题 的新的数学工具，特别 是描述运 动 与 变 化的无限小算法，并且在相当短的 时 期内，取得了迅速的 进 展。 代表性的工作有： 1、开普勒与旋 转 体体积 ； 开普勒方法的要旨，是用无数个同 维 无限小元素之和来确定曲 边 形的面 积 及旋 转 体的体 积 。例如他 认为 球的体 积 是天数个小 圆锥 的体 积 的和， 这 些 圆锥 的 顶 点在球心，底面 则 是球面的一部分；他又把 圆锥 看成是极薄的 圆盘 之和，并由此 计 算出它的体积 ，然后 进 一步 证 明球的体 积 是半径乘以球面面 积 的三分之一。 2、卡瓦列里不可分量原理 他在用新方法促 进 的 连续 不可分量的几何学中 发 展了系 统 的不可分量方法。 认为线 是由无限多个点 组 成；面是由无限多条平行 线 段 组 成；立体 则 是由无限多个平行平面 组 成。他分 别把 这 些元素叫做 线 、面和体的 “不可分量 ”。 卡瓦列里利用 这 条原理 计 算出 许 多立体 图 形的体 积 ，他 对积 分学 创 立最重要的 贡 献 还 在于在 1639利用平固下的不可分量原理建立了等价于下列 积 分式子：
