1、1数论知识2人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类 奇数和偶数等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说， 数论就是一门研究整数性质的学科。什么是数论3数论的发展简况数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成 初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分 。 初等数论 是数论中 不求助于其他数学学科
2、的帮助 ，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的 “中国剩余定理 ”，就是初等数论中很重要的内容。解析数论 是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。 我国数学家陈景润在解决 “哥德巴赫猜想 ”问题中也使用的是解析数论的方法 。4代数数论 是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。 几何数论 是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是 “空间格网 ”。什么
3、是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。 解决 “庞加莱猜想 ”所用的方法就属于几何数论 。5哥德巴赫猜想哥德巴赫 （ 1690-1764）是德国数学家；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族 ,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。 1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士； 1725年 1740年担任彼得堡科学院会议秘书； 1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。在 1742年 6月 7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。
4、6随便取某一个奇数，比如 77，可以把它写成三个素数之和：77 = 53+17+7再任取一个奇数，比如 461，461= 449+7+5也是三个素数之和， 461还可以写成 257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现： 任何大于 5的奇数都是三个素数之和。7欧拉回信说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。 同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于 2的偶数都是两个素数之和 。但是这个命题他也没能给予证明。不难看出， 哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论 。事实上，任何一个大于 5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中 2(N-1)4.若欧拉的命题成立，则偶数
5、 2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数 2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于 5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想8二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了艰辛的劳动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题。十九世纪数学家康托（ 18451918）耐心地试验了 1000以内所有的偶数，奥培利又试验了10002000的全部偶数，他们都肯定了在所试验的范围内猜想是正确的。后来甚至有人一直验算到三亿三千万这个数，都肯定了猜想是正确的。91900年，德国数学家希尔伯特（ 1862.1.231943）在巴黎国际数学家大会上提出了
6、几十个研究题目。其中第 二十三个最重要的问题供二十世纪的数学家来研究。 第八问题为素数问题；在提到哥德巴赫猜想时，希尔伯特说这是以往遗留的最重要的问题之一 。1921年，英国数学家哈代（ 18771947）在哥本哈根召开的数学会议上说过， 哥德巴赫猜想的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比 。10近一百年来，哥德巴赫猜想吸引着世界上许多著名的数学家，并在证明上取得了很大的进展。苏联人什尼列尔曼 (19051938)第一个取得了成果，他指出任何整数都可以用一些素数的和来表示，而加数的个数不超过 800000。1937年，苏联数学家维诺格拉夫（ 18911983）取得了进一步的成果，他证明了任何一个相当大的奇数都可以用三个素数的和来表示。关于大偶数可表示为 s个素数之积与 t个素数之积的和的 “s+ t“问题的研究进展情况如下：
