1、第 1 页（共 119 页）1在平面直角坐标系 xOy 中，对于线段 MN 的“三等分变换 ”，给出如下定义：如图 1，点 P，Q 为线段 MN 的三等分点，即 MP=PQ=QN，将线段 PM 以点 P 为旋转中心顺时针旋转 90得到 PM，将线段 QN 以点 Q 为旋转中心顺时针旋转90得到 QN，则称线段 MN 进行了三等分变换，其中 M，N记为点 M，N 三等分变换后的对应点例如：如图 2，线段 MN，点 M 的坐标为（1 ，5） ，点 N 的坐标为（1，2） ，则点 P 的坐标为（1，4） ，点 Q 的坐标为（1，3） ，那么线段 MN 三等分变换后，可得：M的坐标为（ 2，4 ） ，
2、点 N的坐标为（0，3 ） （1）若点 P 的坐标为（2 ，0） ，点 Q 的坐标为（4 ，0） ，直接写出点 M与点 N的坐标；（2）若点 Q 的坐标是（0， ） ，点 P 在 x 轴正半轴上，点 N在第二象限当线段 PQ 的长度为符合条件的最小整数时，求 OP 的长；（3）若点 Q 的坐标为（0，0） ，点 M的坐标为（3，3） ，直接写出点 P 与点 N的坐标；（4）点 P 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个定点，点 P 的坐标为（， ）当点 N在圆 O 内部或圆上时，求线段 PQ 的取值范围及 PQ 取最大值时点 M的坐标2在平面直角坐标系中，点 Q 为坐标系上任意一点，某图
3、形上的所有点在Q的内部（含角的边） ，这时我们把Q 的最小角叫做该图形的视角如图 1，矩形 ABCD，作射线 OA，OB，则称AOB 为矩形 ABCD 的视角第 2 页（共 119 页）（1）如图 1，矩形 ABCD，A（ ，1） ，B（ ，1） ，C（ ，3） ，D（ ，3） ，直接写出视角AOB 的度数；（2）在（1）的条件下，在射线 CB 上有一点 Q，使得矩形 ABCD 的视角AQB=60，求点 Q 的坐标；（3）如图 2，P 的半径为 1，点 P（1， ） ，点 Q 在 x 轴上，且P 的视角EQF 的度数大于 60，若 Q（a ，0） ，求 a 的取值范围3在平面直角坐标系 xOy
4、 中，点 P 与点 Q 不重合，以点 P 为圆心作经过 Q 的圆，则称该圆为点 P、Q 的“ 相关圆”（1）已知点 P 的坐标为（2，0）若点 Q 的坐标为（ 0，1） ，求点 P、Q 的“相关圆 ”的面积；若点 Q 的坐标为（ 3，n） ，且点 P、Q 的“ 相关圆”的半径为 ，求 n 的值；（2）已知ABC 为等边三角形，点 A 和点 B 的坐标分别为（ ，0） 、（ ，0） ，点 C 在 y 轴正半轴上，若点 P、Q 的“相关圆”恰好是ABC 的内切圆且点 Q 在直线 y=2x 上，求点 Q 的坐标（3）已知ABC 三个顶点的坐标为： A（ 3，0） 、 B（ ，0） ，C（0，4） ，
5、点 P的坐标为（0， ） ，点 Q 的坐标为（m， ） ，若点 P、Q 的“相关圆”与ABC 的三边中至少一边存在公共点，直接写出 m 的取值范围第 3 页（共 119 页）4在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，对于ABC 的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x 1x2|，|x 2x3|，|x 3x1|中的最大值，称为ABC 的横长，记作 Dx；将|y1y2|，|y 2y3|，|y 3y1|中的最大值，称为 ABC 的纵长，记作 Dy；将 叫做ABC 的纵横比，记作 = 例如：如图 1，ABC 的三个
6、顶点的坐标分别是 A（0，3） ，B （2，1） ，C（ 1，2） ，则 Dx=|2（1）|=3，D y=|3（ 2）|=5，所以 = = （1）如图 2，点 A（1，0） ，第 4 页（共 119 页）点 B（2，1） ，E（1 ，2） ，则AOB 的纵横比 1= AOE 的纵横比 2= ；点 F 在第四象限，若AOF 的纵横比为 1，写出一个符合条件的点 F 的坐标；点 M 是双曲线 y= 上一个动点，若AOM 的纵横比为 1，求点 M 的坐标；（2）如图 3，点 A（1，0） ，P 以 P（0， ）为圆心，1 为半径，点 N 是P上一个动点，直接写出AON 的纵横比 的取值范围5在平面直
7、角坐标系 xOy 中，给出如下定义：对于C 及 C 外一点 P，M ，N 是C 上两点，当MPN 最大时，称MPN 为点 P 关于 C 的“视角” （1）如图，O 的半径为 1，已知点 A（0，2） ，画出点 A 关于O 的“ 视角”；若点 P 在直线 x=2 上，则点 P 关于O 的最大“视角”的度数 ；在第一象限内有一点 B（m ，m） ，点 B 关于O 的“视角” 为 60，求点 B 的坐标（2）若点 P 在直线 y= x+2 上，且点 P 关于O 的“视角”大于 60，求点 P 的横坐标 xP 的取值范围（3）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，点 E 的坐标为（ 0，1） ，点 F
8、的坐标为（0，1） ，若线段 EF 上所有的点关于C 的“视角”都小于 120，直接写出点 C第 5 页（共 119 页）的横坐标 xC 的取值范围6如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点 A（2，3） ，点B（6 ，3） ，连接 AB如果线段 AB 上有一个点与点 P 的距离不大于 1，那么称点 P 是线段 AB 的“ 环绕点 ”（1）已知点 C（3 ，1.5） ，D（4，3.5） ，E （1，3） ，则是线段 AB 的“环绕点”的点是 ；（2）已知点 P（m，n）在反比例函数 y= 的图象上，且点 P 是线段 AB 的“环绕点”，求出点 P 的横坐标 m 的取值范围；（3）已知M
9、上有一点 P 是线段 AB 的“ 环绕点”，且点 M（4，1） ，求M 的半径 r 的取值范围7 （1 ）在图，中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A、B 、D 的坐标（如图） ，写出图，中的顶点 C 的坐标，它们分别是 ， ， ；（可用含 a，b，c，d，e，f 的代数式表示）（2）在图中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A、 B、D 的坐标（如图） ，求出顶点 C 的坐标（ C 点坐标用含 a，b，c，d，e ，f 的代数式表示） ；归纳与发现（3）通过对图的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A（a，b） 、B（
10、c，d） 、C（ m，n） 、D （e，f） （如图）时，则四个顶点的横坐标 a，c，m，e 之间的等量关系为 ；纵坐标 b，d ，n，f 之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广第 6 页（共 119 页）（4）在同一直角坐标系中有抛物线 y=x2（5c 3）xc 和三个点 G（ c， c） ，S（ c， c） ，H（2c，0） （其中 c0） 问当 c 为何值时，该双曲线上存在点P，使得以 G，S，H ，P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0） ，（7，0） （1）对于坐标平面内的一点 P
11、，给出如下定义：如果APB=45 ，则称点 P 为线段 AB 的“等角点 ”显然，线段 AB 的“ 等角点”有无数个，且 A、B、P 三点共圆设 A、B、P 三点所在圆的圆心为 C，直接写出点 C 的坐标和C 的半径；y 轴正半轴上是否有线段 AB 的“等角点” ？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点 P 在 y 轴正半轴上运动时，APB 是否有最大值？如果有，说明此时APB 最大的理由，并求出点 P 的坐标；如果没有请说明理由第 7 页（共 119 页）9我们规定：平面内点 A 到图形 G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离 d，点 A 到图形 G
12、上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离 D，定义点 A 到图形 G 的距离跨度为 R=Dd（1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，图形 G1 为以 O 为圆心，2 为半径的圆，直接写出以下各点到图形 G1 的距离跨度：A（1 ，0 ）的距离跨度 ；B（ ， ）的距离跨度 ；C（ 3，2）的距离跨度 ；根据中的结果，猜想到图形 G1 的距离跨度为 2 的所有的点组成的图形的形状是 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，图形 G2 为以 D（1，0）为圆心，2 为半径的圆，直线 y=k（x1 ）上存在到 G2 的距离跨度为 2 的点，求 k 的取值范围第 8 页（共 11
13、9 页）（3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，射线 OP：y= x（x0） ，E 是以3 为半径的圆，且圆心 E 在 x 轴上运动，若射线 OP 上存在点到E 的距离跨度为 2，直接写出圆心 E 的横坐标 xE 的取值范围 10在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C 的“ 矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值， “铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积 ”S=ah例如：三点坐标分别为 A（1，2） ，B （3，1） ，C （ 2，2） ，则“水平底”a=5， “铅垂高”h=4 ， “矩面积”S=ah=20（1）已知点 A（1，2） ，
14、B （3，1） ，P（0，t ） 若 A，B，P 三点的“矩面积”为 12，求点 P 的坐标；直接写出 A，B，P 三点的“矩面积”的最小值（2）已知点 E（4，0） ， F（0，2） ，M（m，4m） ，N（n， ） ，其中m0，n0若 E，F，M 三点的“ 矩面积 ”为 8，求 m 的取值范围；直接写出 E，F，N 三点的“矩面积”的最小值及对应 n 的取值范围11在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y ） ，如果点 Q（x，y）的纵坐标满足 y= ，那么称点 Q 为点 P 的“关联点”（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；（2）如果点 P 在函数 y=x2 的图象上
15、，其“ 关联点”Q 与点 P 重合，求点 P 的坐标；（3）如果点 M（m，n）的“关联点”N 在函数 y=2x2 的图象上，当 0m 2 时，求线段 MN 的最大值第 9 页（共 119 页）12在平面直角坐标系 xOy 中，对于双曲线 y= （m0）和双曲线y= （n0 ） ，如果 m=2n，则称双曲线 y= （m 0）和双曲线 y= （n0）为“倍半双曲线 ”，双曲线 y= （m0）是双曲线 y= （n0）的“倍双曲线”，双曲线 y= （n0）是双曲线 y= （m0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线 y= 的“倍双曲线”是 ；双曲线 y= 的“半双曲线”是 ；（2）如图 1，在平面直
16、角坐标系 xOy 中，已知点 A 是双曲线 y= 在第一象限内任意一点，过点 A 与 y 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线” 于点 B，求AOB 的面积；（3）如图 2，已知点 M 是双曲线 y= （k0）在第一象限内任意一点，过点M 与 y 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线”于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线”于点 P，若MNP 的面积记为 SMNP ，且1S MNP 2，求 k 的取值范围13在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C ，给出如下定义：第 10 页（共 119 页）如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，
17、B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A，B ，C 的覆盖矩形点 A，B，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B ，C 的最优覆盖矩形例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A 2B2C2D2，AB 3C3D3 都是点 A，B，C 的覆盖矩形，其中矩形 AB3C3D3 是点 A，B，C 的最优覆盖矩形（1）已知 A（2，3） ，B （5，0） ，C（t， 2） 当 t=2 时，点 A，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；若点 A，B，C 的最优覆盖矩形的面积为 40，求直线 AC 的表达式；（2）已知点 D（1，1） E （m，n）是函数 y= （x 0）的图象上一点，P
18、 是点 O，D，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出P 的半径 r 的取值范围14在平面直角坐标系 xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点 P（ x，m ）是图形 G1 上的任意一点，点 Q（x，n ）是图形 G2 上的任意一点，若存在直线 l：kx+b（k0）满足 mkx+b 且 nkx +b，则称直线l：y=kx +b（k0）是图形 G1 与 G2 的“隔离直线” 如图 1，直线 l：y= x4 是函数 y= （x0）的图象与正方形 OABC 的一条“隔离直线”（1）在直线 y1=2x，y 2=3x+1，y 3=x+3 中，是图 1 函数 y= （x0）的图象与正方形 OABC 的 “隔离直线”的为 ；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线” 的表达式： ；（2）如图 2，第一象限的等腰直角三角形 EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 D 的坐标是（ ，1） ，O 的半径为 2是否存在EDF 与O 的“隔离直
