1、 第 10章 分析的严格化 10.3.3 数学物理与微分方程 自从牛顿时代起，物理问题就成为数学发展的一个重要源泉 18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程随着物理科学所研究的现象从力学向电学以及电磁学扩展，到 19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心，对它们的研究促进了函数论、变分法、无穷级数、常微分方程、代数、微分几何等学科的发展 19世纪偏微分方程发展的序幕，是由法国数学家傅里叶 (J.Fourier， 17681830) 拉开的，他于 1822年发表的 热的解析理论 是数学史上的经典文献之一傅里叶研究的主要问题是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律在
2、对物体的物理性状作出一定的限制 (如均匀，各向同性 )后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程 傅里叶：傅立叶 1768年 3月 21日生于 欧塞尔 ， 1830年 5月 16日卒于 巴黎 。 9岁父母双亡， 被当地教堂收养。 12岁由一主教送入地方 军事 学校读书。17岁（ 1785）回乡教数学， 1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。 1798年随 拿破仑 远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书， 1801年回国后任伊泽尔省地方长官。 1817年当选为科学院院士， 1822年任该院终身秘书，后又任 法兰西学院 终身秘书和理工科大学校务委员会主席。 傅
3、立叶 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。 1807年向巴黎科学院呈交 热的传播 论文，推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解 函数 可以由三角函数构成的 级数 形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的 无穷级数 。傅立叶级数 （即三角级数）、 傅立叶分析 等理论均由此创始。其他贡献有：最早使用定 积分符号 ，改进了 代数方程符号 法则的证法和实根个数的判别法等 。 其中 是一个常数，其值依赖于物体的质料傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度 0度、面绝热而无热流通过的柱轴，在此情形下求解上述热传导方程因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问
4、题也就是解偏微分方程 其中下面的两项分别是边界条件和初始条件傅里叶为解这个方程用了变量分离法，他得到 为了满足初始条件，必须有 这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表示成三角级数的问题傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成 这样，每个 就可由上式乘以 ，再从 0到 积分而得到他还指出这个程序可以应用于表达式 接着，他考虑了任何 在区间 的表达式，利用任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这一事实，傅里叶可以将区间 上的任何 表示为 其系数由 确定，这就是我们通常所称的傅里叶级数不过傅里叶从没有对 “任意 ”函数可以展成傅里叶级数这一断言给出过任何完全的证明，他也没有说出一个函
5、数可以展开为三角级数必须满足的条件 傅里叶傅里叶的工作不仅发展了偏微分方程的理论，而且使函数概念得以改进，同时也标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放了出来傅里叶的前辈都曾坚持一个函数必须是可用单个式子表示的，而傅里叶级数却可以表示那些在区间 或 的不同部分有不同解析式的函数，不论这些表示式互相是否连续地接合着特别是一个傅里叶级数是在一整段区间上表示一个函数的，而一个泰勒级数仅在函数是解析的点附近表示该函数 19世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物 格林 (GGreen， 17931841) 是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家位势方程也称拉普拉斯方程 (参见第 7章 )：
