1、Function of Complex Variable and Integral Transform 复变函数与积分变换姜偕富 杭州电子科技大学 自动化学院 第二教学科研楼 南楼 218 Tel: 86919134Email: 2工程数学 课程简介一、 复变函数的地位二、 复变函数与积分变换的发展历史三、 复变函数与积分变换的应用工程数学复变函数与积分变换四、 教材与主要参考书五、 课程内容六、 教学与考核方式3一、 复变函数的地位工程数学美国著名数学史家 M. Kline在其著作 ( 古今数学思想 (MathematicalThought from Ancient to Modern Ti
2、mes）中指出： 从技术观点来看， 19世纪最独特的创造 是单复变函数理论。 象微积分的直接扩展统治了 18世纪那样，该数学分支几乎统治了 19世纪 。 这一丰饶的数学分支，一直被称为这个世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学中 最和谐的理论 。复变函数与积分变换4卡尔丹称它们为 “虚构的量 ”或 “诡辩的量 ”。他还把它们与负数统称为 “虚伪数 ”；把正数称为 “证实数 ”。两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数卡尔丹发现只要把 10 分成 和 即可。1545 年， 卡尔丹 （ Girolamo Cardano）第一个认真地讨论了虚数，他在其著作 大术（大法） 中求解这样的问题：卡尔丹的
3、这种处理，遭到了当时的代数学权威 韦达 和 他的学生哈里奥特的责难。工程数学复变函数与积分变换二、 复变函数与积分变换的发展历史5整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量 ” 。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。意义下的 “复数 ”的名称。1632 年， 笛卡尔 在 几何学 中首先把这种 “虚构的量 ”改称为 “虚数 ”，与 “实数 ”相对应。 同时，还给出了如今工程数学复变函数与积分变换英国数学家 沃利斯 （ J. Wallis, 1616-1703 ）第一个将复数a+bi 利用 笛卡尔坐标平面上的点 a+bi 来表示，其后又有很多人独立完善了沃利斯的表示方法。二、 复变函数与积分
4、变换的发展历史6到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。1722 年，法国的 德摩佛 (De Moivre)给出 德摩佛定理： 其中 n 是大于零的整数。1748 年， 欧拉 给出了著名的 欧拉公式 ：并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文 微分公式 中首次使用 i 来表示工程数学复变函数与积分变换二、 复变函数与积分变换的发展历史7十八世纪末， 高斯 使得复数的 地位被确立下来。1797 年，当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理 ，高斯在证明中巧妙地给出了复数的 几何 表示， 使得人们更加直观地理解了复数的真实意义。而且 n
5、次多项式恰好有 n 个根。任何多项式在复数域里必有根，即工程数学复变函数与积分变换高斯和 哈密顿 （ W.R. Hamilton, 1805-1865 ）分别在 1831和 1837年定义复数 a+bi 为一对实数 (a, b)。因此，复数可以用一对实数来处理算术运算，复数理论转变为一对实数的理论。二、 复变函数与积分变换的发展历史8十九世纪，复变函数论开始形成，并逐渐发展成一个庞大的数学分支。 柯西、维尔斯特拉斯 和 黎曼 在奠定了复变函数理论基础。柯西和维尔斯特拉斯应用 积分 和 级数研究复变函数，黎曼研究了复变函数的映射 (几何 )性质。工程数学复变函数与积分变换 十八世纪， 达朗贝尔
6、和 欧拉 等人逐步阐明了复数的几何意义，澄清了复数概念，并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的问题。此后人们才逐渐接受了复数，复变函数论才能顺利的建立和发展。柯西将一个复变函数 f(z) 视为复数 z 的一元函数来研究。 1814年柯西定义的正则函数（解析函数）要求 f(z) 的导数存在且连续。二、 复变函数与积分变换的发展历史9工程数学复变函数与积分变换1900年，法国数学家 古萨 （ E. Goursat, 1858-1936）免去了导数必须连续的条件，建立了柯西 -古萨基本定理。尽管柯西 -黎曼方程（ C-R方程）早在 1746年就已出现，但是由于柯西在复积分方面的贡献以及他建立了系
7、统的理论，人们还是认为 柯西 是 复分析的创始人 。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，瑞典数学家 列夫勒 （维尔斯特拉斯的学生）、法国数学家 庞加莱、 阿达玛 等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。1930年代，多复变函数研究迎来初步繁荣，出现了 嘉当关于全纯自同构的惟一性定理、有界域全纯自同构群的李群性质及全纯域与全纯凸的等价性的嘉当苏伦定理。二、 复变函数与积分变换的发展历史10工程数学复变函数与积分变换 1936年开始，日本数学家 冈洁 对 库辛 问题、 列维 问题、逼近问题等多复变的中心问题进行了长期、系统而富有成效的研究，对多复变函数论发展有着重大影响。1950年代是多复变函数论发展的黄金时代，数学家们通过拓扑方法和几何方法研究全纯函数的整体性质。 嘉当、勒雷、施泰因 等建立了凝聚解析层和复空间理论， 格劳尔特 解决了复流形等问题。1930年代开始，我国数学家在单复变和多复变函数方面做过不少重要工作： 1940-1950年代， 华罗庚 关于多复变函数典型域上调和分析的研究，在调和分析、复分析、微分方程等研究中，有广泛深入的影响； 1970年代， 杨乐、张广厚 在单复变函数的值分布的渐近值理论中取得首创成果。二、 复变函数与积分变换的发展历史
