1、几何学的突破与发展主讲人：周思波四川师范大学 数学史z17世纪是天才世纪 ,诞生了解析几何、微积分，告别了初等数学时期； 18世纪是发明的世纪，数学分析严格化，代数抽象化。z直到 18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。四川师范大学 数学史对平行公设的疑惑z从公元前 3世纪到 18世纪末，数学家们始终没有放弃对平行公设的疑惑。y第五公设 和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。y欧
2、几里得在 几何原本 一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。y第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。 ” 四川师范大学 数学史欧氏几何的家丑z从公元前 3世纪到 18世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种 “证明 ”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。平行公设是欧氏几何的家丑。 达朗贝尔四川师范大学 数学史有意义的进展z意大利数学家萨凯
3、里（ G.Saccheri） 在 欧几里得无懈可击 （ 1733）一书中，从著名的 “萨凯里四边形 ”出发来证明平行公设。萨凯里 四边形锐角？直角？钝角？z萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是与平行公设等价的。四川师范大学 数学史兰伯特四边形锐角？直角？钝角？z1763年 , 克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾 , 只是得到了似乎与经验不符
4、的结论 . 开始怀疑平行公设能否由其他公理加以证明 .z1766年，兰伯特发表 平行线理论 。兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。四川师范大学 数学史高斯建立非欧几何z最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间的是高斯。他从 1799年开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来，并从 1813年起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为 “ 反欧几里得几何 ”，最后改称为 “ 非欧几里得几何 ” 。然而由于担心世俗的攻击，他决
5、定将自己的发现秘而不宣。四川师范大学 数学史波尔约 绝对空间的科学 z非欧几何的另一位创始人是匈牙利的青年数学家 波尔约 z1823年 11月 3日，经过不懈努力，得出了非欧几何的基本原理。他高兴地写信告诉父亲： “我已从乌有中创造了另一个新奇的世界 ”。 1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式出版 。z当他父亲把鲍耶的研究成果写信告诉高斯的时候，高斯感到十分吃惊，回信说： “这和我 40年来沉思的结果不谋而合 ”鲍耶看到高斯的回信，大大刺伤了自己的自尊心，反而怀疑高斯剽窃他的成果。从此消沉下去，不再研究这一问题四川师范大学 数学史z高斯的保守，鲍耶的消沉，使非欧几何的诞生推迟了时间只有俄国数学家 罗巴切夫斯基(17931856) 才无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号四川师范大学 数学史几何学中的 “ 哥白尼 ”z1826年在喀山大学发表了 简要论述平行线定理的一个严格证明 的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现。z1829年发表了题为 论几何原理 的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。z1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人 罗巴切夫斯 基 。
