1、【知识结构】1有理数指数幂（1）幂的有关概念正数的正分数指数幂: (0,1)mnanN、 且;正数的负分数指数幂: 1,nman 、 且0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质a ras=ar+s(a0,r、sQ);(a r)s=ars(a0,r、sQ);(ab) r=arbs(a0,b0,rQ );.例 2 （1）计算：25.02121325.032 6)3.0().()8()94(8 ；（2）化简：5323233214 )(8aabab变式：（2007 执信 A）化简下列各式（其中各字母
2、均为正数）:（1） ;)(65312132ba（2） .)4()3(65213212231 babaa(3) 1 20.25343 37.()8()(（三）幂函数1、幂函数的定义形如 y=x （ aR）的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例 1.下列函数中不是幂函数的是（ ）A yx B 3yx C 2yx D 1yx例 2.已知函数 2531mf，当 为何值时， f：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 0,上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数
3、；变式 已知幂函数 ，当 时为减函数，则幂函数223(1)myx(0)x（y_2.幂函数的图像幂函数 yx 的图象由于 的值不同而不同的正负： 0 时，图象过原点和(1,1) ，在第一象限的图象上升；0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；3、幂函数的性质y=x y=x2 y=x3 12yxy=x-1定义域 R R R 0， ） |0xR且值域 R 0， ） R 0， ） |y且奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 x0， ）时，增；x (,0时，减增 增 x(0,+ )时，减；x(- ,0)时，减定点 （1，1）例 3比较大小：（1） 2.5,7 （2） 33(1.),
4、.25)（3） 12.,5.6,.（4）30.3log.4.幂函数的性质及其应用幂函数 yx 有下列性质：(1) 单调性：当 0 时，函数在 (0，)上单调递增；当 0 时，函数在 (0，)上单调递减(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断例 4已知幂函数23myx（ Z）的图象与 x轴、 y轴都无交点，且关于原点对称，求 的值例 5.已知幂函数 的图象与 轴都无交点，且关于 轴对称，2()myxNxy（ y求 的值，并画出它的图象m变式：已知幂函数 f(x)=x 32m（mZ）为偶函数，且在区间（0，+）上是单调减函数.（1）求函数 f(
5、x); （2）讨论 F（x）=a （xfbf的奇偶性.5.规律方法（1） 幂函数 yx (0,1)的图象（2）.幂函数 (,aqqyxpN为 最 简 分 式 ） 的图象6.性质：（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；（2）当 0a时，幂函数在 0,)上 ；当 0a时，幂函数在 (0,)上 ；（3）当 2,时，幂函数是 ；当 1,3时，幂函数是 例 6 右图为幂函数 yx在第一象限的图像，则,abcd的大小关系是 （ ） ()A()BbadcCcD例 7 若点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上，定义 ，试求函数 的最大值以及单调区间。例 8 若函数 在区间 上是递减函数，
6、求实数 的取值范围。xOy axbyc【巩固练习】1在函数 2031,yxyx中，幂函数的个数为 ( )A0 B1 C2 D32、幂函数的图象都经过点（ ）A （1，1） B （0，1） C （0，0） D （1，0）3、幂函数 的定义域为（ ）25xyA(0,+) B0,+ ) CR D(- ，0)U (0,+)4若幂函数 afx在 0,上是增函数，则 ( )A a0 B 1 B 1 C m=l D不能确定6若函数 f(x) x3(xR)，则函数 y f( x)在其定义域上是( ) A单调递减的偶函数 B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数 D单调递增的奇函数7已知幂函数 f(x) x 的部分
7、对应值如下表：x 1 12f(x) 122则不等式 f(|x|)2 的解集是( )A x|4 x4 B x|0 x4C x| x D x|0 x 2 2 28如果幂函数 y( m23 m3) 的图象不过原点，则 m 的取值是( )A1 m2 B m1 或 m2C m2 D m19、当 x（1 ，）时，函数）y ax的图象恒在直线 yx 的下方，则 a 的取值范围是 A、a1 B、0a1 C、a0 D、a0二、填空题：11、若 21)( 21)3(，则 a 的取值范围是_；12.函数 xy的定义域为_. （A） （B） （C） （D） （E ） （F ）13幂函数 y f(x)的图象经过点 ，则
8、满足 f(x)27 的( 2， 18)x 的值是_14已知 a ，函数 f(x) ax，若实数 m， n 满足 f(m) f(n)，则 m，5 12n 的大小关系为_幂函数的性质与图像测试一、填空题1.若幂函数 yfx的图像过点 2,，则函数 yfx的解析式为_.2.已知函数 2214mfx是幂函数，则实数 m的值为_.3.幂函数 23nyxN的图像与两坐标无交点且关于 y轴对称，则 n的值等于_.4.设 12,23a，已知幂函数 fx是偶函数，且在区间0,上是减函数，则满足要求的 值的个数是_.5.已知函数 1axf的图像的对称中心是 3,1，则函数 fx的单调递减区间是_.6.已知幂函数
9、yR的图像当 0x时，在直线 y的上方；当1x时在直线 x的下方，则 的取值范围是_.7.函数 的图像可以看成由幂函数12y的图像向_平移_个单位.8.已知 11332xx，则实数 x的取值范围是 _.二、选择题9.如图， M、 N、 P、 Q分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为 3yx； 2yx；23yx；13yx，则 M、 N、P、 与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）.（A） ()() ()10.下列函数中，是奇函数且在 0,上是增函数的是（ ）.（）53yx() 53yx（） 4 ()411.当 1,x时，下列函数的图像全在直线 yx下方且为偶函数的是（ ）.（）12y() 4yx （） 4() 1yx12.设 fx和 g是两个不同的幂函数，集合 |Mxfg，则集合 M 中元素的个数是（ ）（）1 或 2 或 0 () 1 或 2 或 3（）1 或 2 或 3 或 4 ()0 或 1 或 2 或 3 三、解答题13.研究函数23yx的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像.
