1、 - 1 -三角函数之性质运用一、单选题（共 10 题；共 20 分）1.已知函数 f（ x）= 的图象与 g（x ）的图象关于直线 x= 对称，则 g（x）的图象的一个对称中心为（ ） A. （ ，0 ） B. （ ，0 ） C. （ ，0 ） D. （ ，0）2.函数 f（x）=Asin（x+）满足：f（ +x）=f（ x ），且 f（ +x）=f（ x），则 的一个可能取值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 54.已知函数 f（ x）=sin（x+）（0）图象的两条相邻的对称轴的距离为 若角 的终边经过点P（1， 2），则 f（ ）等于（ ） A. B. C. D. 5.若 （
2、a 为实常数）在区间 上的最小值为-4 ，则 a 的值为 A. -6 B. 4 C. -3 D. -47.已知函数 在 上是减函数，则 的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共 5 题；共 6 分）11.(2015上海）已知函数 f(x)=sinx若存在 x1 ， x2 ， x3 ， ., xm 满足 0x1x2x3.xm6 ，且|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+.+|f(xn-1)-f(xn)|=12（m2，m N*），则 m 的最小值为 _ 12.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f（x）=asinax+cosax（ a0）的最小正周期为_，在一个最
3、小正周期长的区间上的图象与函数 的图象所围成的封闭图形的面积是_ 13.已知函数 f（x）=asin（x+）b 的部分图象如图，其中 0，| ， a，b分别是ABC 的角 A，B 所对的边， cosC= +1，则ABC 的面积 S=_ 14.在同一直角坐标系中，函数 的图象和直线 y= 的交点的个数是_ - 2 -答案解析部分一、单选题1.【答案】C 【考点】二倍角的正弦，正弦函数的图象 【解析】【解答】解：函数 f（x）= 的图象与 g（x）的图象关于直线 x= 对称， 设P（x，y）为函数 g（x）图象上的任意一点，则 P 关于直线 x= 的对称点 P（ x，y ）在 f（x ）图象上，满
4、足 y=f（ x ）= =2cos2x，可得：g（x）=2cos2x，由 2x=k+ ，kZ，解得 x= + ，kZ，当 k=0 时，则 g（x ）的图象的对称中心为（ ，0）故选：C【分析】由已知利用函数的对称性可求 g（x），进而利用余弦函数的图象和性质即可得解2.【答案】B 【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】解：函数 f（x）=Asin（x+）满足：f（ +x）=f（ x），所以函数 f（x ）的图象关于（ ，0）对称，又 f（ +x）=f（ x），所以函数 f（x）的图象关于 x= 对称；所以 = = ，kZ ，所以 T= ，即 = ，解得 =3（2k1），kZ；当 k=1 时，
5、 =3，所以 的一个可能取值是 3故选：B- 3 -【分析】根据题意，得出函数 f（x）的图象关于（ ，0）对称，也关于 x= 对称；由此求出函数的周期 T 的可能取值，从而得出 的可能取值3.【答案】B 【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】解：f（ x）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，f max（x）=f （ ）=1 ，且（ ，1 ）为 f（x ）在第一象限内的第一个最高点，sin =1， = ，=2故选 B【分析】由单调区间可知 f（ ）=1 4.【答案】A 【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】解：f（ x）的图象的两条相邻的对称轴的距离为 f（x）的周期 T=2 = ，解
6、得 =3角 的终边经过点 P（1， 2 ）， 为第四象限角，且 sin= = f（ ）=sin （7+）=sin（+）=sin= 故选：A【分析】有条件得出 f（x）的周期和 的正弦，代入数值计算即可5.【答案】D 【考点】三角函数的最值 【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用 x 的范围，求得2x+ 的范围，然后利用正弦函数的单调性求得函数最小值的表达式，求得 a【解答】f（x)=2cos 2x+ sin2x+a=cos2x+1+ sin2x+a=2sin(2x+ )+a+1x0， ，- 4 -2x0，2x+ ， ，sin(2x+ )- ， 1f(x)
7、min=2(- )+a+1=-4，即 a=-4故选 D6.【答案】C 【考点】正弦函数的图象，余弦函数的图象 【解析】【解答】解：已知 0 ，在函数 y=sinx与 y=cosx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为半个周期 =1， 则 =，故选：C【分析】根据函数 y=sinx与 y=cosx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为半个周期，求得 的值7.【答案】C 【考点】正弦函数的单调性 【解析】【解答】x ， 0，x+ + , + 函数 f(x)=sin(x+ )在 上单调递减，周期 T= ， 解得 4,f(x)=sin(x+ )的减区间满足：+2kx+ +2k，k Z,取 k=
8、0，得 + , + ， 解之得故选 C.【分析】中档题，对正弦型函数的研究，注意将 看作一个整体。8.【答案】A 【考点】利用导数研究函数的单调性，正弦函数的单调性 【解析】【解答】解：函数 f（x）=sin （2x+ ），f（x）是 f（x）的导函数， 则函数 y=2f（x）+f（x）=2sin（ 2x+ ）+2cos（2x+ ）= sin（2x+ + ）=2 sin（2x+ ），- 5 -由 2k+ 2x+ 2k+ ，kZ，可得：k+ xk+ ，kZ，所以函数的一个单调减区间为： ， 故选：A【分析】求出函数的导数，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数
9、的单调性求解函数的求解函数单调减区间9.【答案】D 【考点】正弦函数的定义域和值域 【解析】【解答】 ,因为在 中 ， 所以 。故 D 正确。【分析】三角形面积及正弦函数的值域。10.【 答案】B 【考点】余弦函数的图象 【解析】【解答】解： ， 不妨设 x= ，则 sin = ，cos = ，tan = ，cos sin tan ，即 cossintan；又 a=sinx，b=cosx，c=tanx，bac故选：B【分析】在限定条件下，比较几个式子的大小，用特殊值代入法二、填空题11.【 答案】8 【考点】三角函数的最值 【解析】【解答】因为 f(x)=sinx， 所以|f(x m)-f(x
10、n)|f(x)max-f(x)min=2, 因此要使得满足条件|f(x 1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+.+|f(xn-1)-f(xn)|=12 的 m 最小， 须取 x1=0， x2= ，x 3= ，x 4= . x5= ， x6= ， x7= ， x8=6 ，即 m=8.【分析】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.12.【 答案】 ；【考点】定积分的简单应用，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象 - 6 -【解析】【解答】解：（1）由 f（x）=asinax+cosax（a0） f（x ）= ，其中 f（
11、x）的最小正周期 2）取长度为 ，宽度为 矩形，根据三角函数的图象的对称性，所围成的封闭图形的面积为矩形的一半， = ；所以： ；故答案为： 【分析】（1）利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数 f（x）的最小正周期（2）由三角函数的图象的对称性，把要求的面积转化为长度为 ，宽度为 矩形的面积的一半来解决；或者利用定积分的意义转化为定积分 来求解13.【 答案】【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】解：由函数的图象可知函数的最大值为 ab= 1，最小值为ab= 1 ，解得 a= ， b=1，即函数的周期 T=，即 =，即 =2，- 7 -故 f（x）= sin（2x
12、+）1，f（ ）= sin（2 +）1= -1，sin（ +）=1，即 +=2k+ ， 即 =2k ， kZ| ， k=0 时， = ， 故 f（x）= sin（2x ）1，cosC= +1，cosC= sin（C ）1+1=sinCcosC ，即 sinC=2cosC，平方得 sin2C=4cos2C，5sin2C=4，解得 sinC= ， 则ABC 的面积 S=故答案为： 【分析】根据函数的图象，先求出函数的解析式，结合三角形的面积公式进行求解即可14.【 答案】2 【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】解：令 y=sin（x+ ）= ， 解得 x+ = +2k，或 x+ = +2k，k
13、 Z；即 x= +2k，或 x= +2k，kZ；同一直角坐标系中，函数 y 的图象和直线 y= 在 x0，2）内的交点为（ ， ）和（ ， ），共 2 个- 8 -故答案为：2【分析】令 y=sin（x+ ）= ，求出在 x0 ，2）内的 x 值即可15.【 答案】 ， 【考点】正弦函数的单调性 【解析】【解答】解：y=2sin（ 2x ）=2sin（2x ）， 只要求 y=2sin（2x ）的减区间，y=sinx 的减区间为2k+ ，2k+ ，2x 2k+ ，2k ，x ，x0， ，故答案为： ， 【分析】在三角函数式中先把 x 的系数用诱导公式变为正，表现出来是负号提前，这样要求函数的增区间变成了去掉负号后的函数的减区间，据正弦函数的减区间求出结果，写出在规定的范围的区间
