1、第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角八年级数学 上 新课标 人已知 ABC中， A= B， B= C，求 ABC的各个内角的度数 .例 1三角形内角和定理的应用 解析 由于 A和 C都与 B有关 ,因此可设出 B的度数 ,然后根据三角形的内角和定理列出方程 ,求出 ABC的各个内角的度数 ,从而判断出三角形的形状 .解 :设 B=x，则 A= x， C=3x，由三角形内角和定理得 x+ x+3x=180，解得 x=40， x= 40=20， 3x=340=120.故 B=40， A=20， C=120.【 解题归纳 】 当问题中出现角度之间的倍数关系的问题时 ,我们通常应用方程思想来解决
2、 .1.如图所示 ,在 ABC中， D为BC上一点， 1= 2， 3= 4， BAC=105，求 DAC的度数 . 解 : BAC=105， 2+ 3=75 ， 1= 2， 4= 3= 1+ 2=2 2 ，把 代入 得 3 2=75 2=25. 1=25， DAC=105-25=80.直角三角形性质与判定的综合应用例 2 如图所示，在 ABC中， AD是 BC边上的高，点 E是 AB上一点， CE交 AD于点 M， 且 DCM= MAE， 求证 ACE是直角三角形 . 解析 要证明 ACE是直角三角形，只要证明 CEA=90即可 .证明 : AD是 BC边上的高， DMC+ DCM=90，又
3、DMC= AME， DCM= MAE， AME+ MAE=90， MEA=90，即 ACE为直角三角形 .【 解题归纳 】 判断一个三角形是直角三角形 ,我们通常的方法是证明其中一个角是 90即可 .2.在下列条件中 : A+ B= C； A B C=123； A=90- B； A= B= C.能确定 ABC是直角三角形的条件有 ( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个D三角形外角性质的应用例 3 如图所示，在 ABC中， ADB=100， C=80， BAD= DAC， BE平分 ABC，求 BED的度数 . 解析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出 DAC,再求出
4、BAD,然后根据三角形的内角和定理求出 ABC,再根据角平分线的定义求出 ABE,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 .解 : ADB=100， C=80， DAC= ADB- C=100-80=20， BAD= DAC， BAD= 20=10,在 ABD中 , ABC=180- ADB- BAD=180-100-10=70, BE平分 ABC, ABE= ABC= 70=35， BED= BAD+ ABE=10+35=45.【 解题归纳 】 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质 ,三角形的内角和定理 ,角平分线的定义 ,熟记性质与定理
5、并准确识图 ,理清图中各角度之间的关系是解题的关键 .3.求如图星形中 , A+ B+ C+ D+ E的度数 .解 :如图 5所示 ， 连接 CD， 根据三角形的外角性质得 1= B+ E= 2+ 3， 在 ACD中 ， A+ 2+ ACE+ 3+ ADB=180， A+ B+ ACE+ ADB+ E=180. 如图 5三角形内角和定理与外角性质的综合应用例 4 一个零件的形状如图 (1)所示 ,按规定 , A=90, ABD和 ACD应分别是 32和 21,检验工人量得 BDC=148,就断定这个零件不合格 ,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由 . 解析 连接 AD并延长 ,利用三角形
6、内角与外角的关系求出此零件合格时 CDB的度数，与已知度数相比较即可 .解 :不合格 ,理由如下 :如图 (2)所示，连接 AD并延长 ,则 1= ACD+ CAD， 2= ABD+ BAD,故 BDC= ACD+ ABD+ CAB=32+21+90=143，因为 BDC实际等于 148，所以此零件不合格 .【 解题归纳 】 外角可以把不在同一个三角形中的几个角联系起来 ,它是不同三角形的内角之间相互转化的 “桥梁 ”.4.如图所示， ABC的外角 CBD， BCE的平分线相交于点 F,若 A=68，求 F的度数 . 解 : BF， CF为 ABC两外角 CBD， BCE的平分线 ， BCF=
7、 ( A+ ABC)， CBF= ( A+ ACB).由三角形内角和定理得 F=180- BCF- CBF=180- A+( A+ ABC+ ACB)=180- ( A+180)=90 - 68=90-34=56. 三角形的内角和定理和角平分线、高线的性质的综合应用如图 11 - 36所示， AD是 ABC边 BC上的高，BE平分 ABC交 AD于点 E.若 C=60， BED=70，求 ABC和 BAC的度数 . 例 5 解析 先根据 AD是 ABC的高得出 ADB=90，再由三角形内角和定理可知 DBE+ ADB+ BED=180，故 DBE=180- ADB- BED=20.根据 BE平分 ABC得出 ABC的度数 . 根据 BAC+ ABC+ C=180， C=60，即可求解 .解 : AD是 ABC的高 , ADB=90.又 DBE+ ADB+ BED=180, BED=70, DBE=180- ADB- BED=20. BE平分 ABC, ABC=2 DBE=40. 又 BAC+ ABC+ C=180， C=60， BAC=180- ABC- C=80.【 解题归纳 】 本题是三角形的内角和定理和角平分线的性质相结合的问题,解决本题的关键是弄清已知条件和未知条件之间的联系 .
