1、 复 变 函 数 论 教 学 大 纲一 、 课 程 基 本 信 息中 文 名 称 ： 复 变 函 数 论英文名称：Theory of Functions of Complex Variable课程编号：06109B课程类 别 ： 专业基础课总学时数： 48(理 论 42， 实 践 6)学 分 ： 3适 用 专 业 ： 数 学 与 应 用 数 学 专 业开课系部：应用数学系先 修 课 程 ： 数 学 分 析二 、 课 程 性 质 与 教 学 目 的复 变 函 数 是 数 学 、 物 理 及 电 子 类 各 专 业 必 修 的 一 门 基 础 课 ， 其 理 论 随 着 它 的 应 用 领 域 不
2、 断 扩大 而 发 展 成 为 一 门 庞 大 的 数 学 分 支 。 一 方 面 讲 述 复 变 函 数 的 基 本 理 论 与 方 法 ， 另 一 方 面 渗 透 复分 析 领 域 内 的 相 关 内 容 。 教 学 目 的 使 学 生 掌 握 复 变 函 数 的 基 本 内 容 和 方 法 ， 为 进 一 步 学 习 复 分析 ， 从 事 工 程 和 电 子 应 用 、 科 研 及 其 它 工 作 打 好 坚 实 基 础 。三 、 课 程 教 学 基 本 要 求 第一部分 复 数 与 复 变 函 数 1、 复 数 及 其 几 何 表 示内 容 ： 复 数 域 、 复 平 面 、 复 数
3、的 模 与 辐 角 。要 求 ： 明 确 幅 角 的 概 念 ， 会 用 模 与 幅 角 的 性 质 解 决 一 些 集 合 问 题 。2、 复 平 面 上 的 点 集内 容 ： 基 本 概 念 、 区 域 。要 求 ： 了 解 其 基 本 概 念 ， 明 确 有 关 概 念 。3、 复 变 函 数内 容 ： 复 变 函 数 概 念 、 极 限 与 连 续 。要 求 ： 理 解 复 变 函 数 概 念 、 极 限 、 连 续 性 及 其 性 质 。4、 复 球 面 与 无 穷 远 点内 容 ： 复 球 面 、 扩 充 复 平 面 。要 求 ： 掌 握 扩 充 复 平 面 上 的 几 个 基 本
4、 概 念 。第二部分 解 析 函 数 1、 解 析 函 数 概 念 及 C_R 条 件 。内 容 ： 复 变 函 数 的 导 数 、 复 变 函 数 、 C_R 条 件 。要 求 ： 深 刻 理 解 解 析 函 数 概 念 ， 掌 握 C_R 条 件 ， 会 用 其 判 断 函 数 的 解 析 性 。2、 初 等 解 析 函 数内 容 ： 指 数 函 数 、 三 角 函 数 与 双 曲 函 数 。要 求 ： 熟 悉 指 数 函 数 、 三 角 函 数 与 双 曲 函 数 及 其 映 照 性 质 。3、 初 等 多 值 函 数内 容 ： 根 式 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 与 反
5、 三 角 函 数 。要 求 ： 了 解 初 等 多 值 函 数 。 能 将 初 等 多 值 函 数 分 解 为 若 干 个 单 值 函 数 。第三部分 复 变 函 数 的 积 分1、 复 变 函 数 积 分 的 概 念 及 其 性 质内 容 ： 复 变 函 数 积 分 的 定 义 、 复 变 函 数 积 分 的 计 算 、 复 变 函 数 积 分 的 性 质 。要 求 ： 理 解 并 掌 握 复 变 函 数 积 分 的 概 念 及 其 性 质 。2、 柯 西 积 分 定 理内 容 ： 柯 西 积 分 定 理 、 不 定 积 分 、 柯 西 积 分 定 理 的 推 广 。要 求 ： 熟 练 掌
6、握 柯 西 积 分 定 理 ， 并 能 灵 活 应 用 。3、 柯 西 积 分 公 式 及 其 推 论内 容 ： 柯 西 积 分 公 式 、 解 析 函 数 的 无 穷 可 微 性 、 柯 西 不 等 式 与 刘 维 尔 定 理 、 摩 勒 拉 定理 。要 求 ： 灵 活 运 用 柯 西 积 分 公 式 ， 深 刻 理 解 解 析 函 数 的 无 穷 可 微 性 ， 掌 握 摩 勒 拉 定 理 。4、 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系内 容 ： 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 。要 求 ： 明 确 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 。第四部分 解 析
7、 函 数 的 幂 级 数 表 示 法 1、 复 级 数 的 基 本 性 质内 容 ： 复 数 项 级 数 、 一 致 收 敛 的 复 函 数 项 级 数 、 解 析 函 数 项 级 数 。要 求 ： 掌 握 复 函 数 项 级 数 的 基 本 概 念 与 性 质 ， 能 将 解 析 函 数 表 示 为 函 数 项 级 数 。2、 幂 级 数内 容 ： 幂 级 数 的 敛 散 性 、 收 敛 半 径 R 的 求 法 、 幂 级 数 和 的 解 析 性 判 断 。要 求 ： 掌 握 幂 级 数 的 收 敛 半 径 求 法 及 其 性 质 ， 判 断 幂 级 数 和 的 解 析 性 。3、 解 析
8、函 数 的 泰 勒 （ Taylor） 展 式内 容 ： 泰 勒 定 理 、 幂 级 数 的 和 函 数 在 其 收 敛 圆 周 上 的 状 况 、 一 些 初 等 函 数 的 泰 勒 展 式要 求 :掌 握 解 析 函 数 的 泰 勒 展 式 ， 会 求 初 等 函 数 的 泰 勒 展 式 。4、 解 析 函 数 零 点 的 孤 立 性 及 唯 一 性 定 理内 容 ： 解 析 函 数 零 点 的 孤 立 性 、 唯 一 性 原 理 、 最 大 模 原 理要 求 ： 明 确 解 析 函 数 零 点 的 孤 立 性 及 唯 一 性 定 理第五部分 解 析 函 数 的 洛 朗 展 式 与 孤 立
9、 奇 点 1、 解 析 函 数 的 洛 朗 展 式内 容 ： 双 边 幂 级 数 、 解 析 函 数 的 洛 朗 展 式 、 洛 朗 级 数 与 泰 勒 级 数 的 关 系 、 解 析 函 数 在 孤立 奇 点 邻 域 内 的 洛 朗展 式要 求 ： 会 求 解 析 函 数 的 洛 朗 展 式 ， 理 解 洛 朗 展 式 和 泰 勒 展 式 的 关 系 。2、 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点内 容 ： 孤 立 奇 点 的 三 种 类 型 、 可 去 奇 点 、 施 瓦 茨 （ Schwarz） 引 理 、 极 点 、 本 性 奇 点 、皮 卡 （ Picard） 定 理 。要 求 ： 切
10、实 掌 握 孤 立 奇 点 的 三 种 类 型 及 其 判 断 方 法 和 性 质 ， 了 解 皮 卡 （ Picard） 定 理 。3、 解 析 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 质内 容 ： 解 析 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 质 。要 求 ： 了 解 解 析 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 质 ， 会 判 断 无 穷 远 点 孤 立 奇 点 类 型 。4、 整 函 数 与 亚 纯 函 数 的 概 念内 容 ： 整 函 数 、 亚 纯 函 数要 求 ： 了 解 整 函 数 与 亚 纯 函 数 的 概 念 及 其 性 质第六部分 留 数 理 论 及 其 应 用1、 留 数内 容
11、 ： 留 数 的 定 义 及 留 数 定 理 、 留 数 的 求 法 、 函 数 在 无 穷 远 点 的 留 数要 求 ： 掌 握 留 数 定 理 及 其 留 数 求 法 ， 理 解 无 穷 远 点 留 数 和 有 限 点 留 数 的 关 系 ， 理 解 留数 和 复 变 函 数 积 分 的 关 系 。2、 用 留 数 定 理 计 算 实 积 分内 容 ： 计 算 型 积 分 、 计 算 型 积 分 、 计 算dR20sin,codxQP型 积 分 、 积 分 路 径 上 有 奇 点 的 积 分 、 应 用 多 值 函 数 的 积 分 。xeQPim要 求 ： 会 用 用 留 数 定 理 计
12、算 实 积 分 ， 了 解 积 分 路 径 上 有 奇 点 的 积 分 和 应 用 多 值 函 数 的积 分 。3、 辐 角 原 理 及 其 应 用内 容 ： 对 数 留 数 、 辐 角 原 理 、 儒 歇 定 理 。要 求 ： 理 解 辐 角 原 理 ， 掌 握 儒 歇 定 理 。第七部分 共 形 映 射1、 解 析 变 换 的 特 性内 容 ： 解 析 变 换 的 保 域 性 、 解 析 变 换 的 保 角 性 -导 数 的 几 何 意 义 、 单 叶 解 析 变 换 的 共形 性 。要 求 ： 掌 握 解 析 变 换 的 特 性 ， 深 刻 理 解 导 数 的 几 何 意 义 ， 明 确
13、 共 形 映 射 的 概 念 。2、 分 式 线 性 变 换内 容 ： 分 式 线 性 变 换 及 其 分 解 、 分 式 线 性 变 换 的 共 形 性 、 分 式 线 性 变 换 的 保 交 比 性 。要 求 ： 掌 握 分 式 线 性 变 换 及 其 性 质 。3、 某 些 初 等 函 数 所 构 成 的 共 形 映 射内 容 ： 幂 函 数 与 根 式 函 数 、 指 数 函 数 与 对 数 函 数 、 由 圆 弧 构 成 的 两 角 形 区 域 的 共 形 映射 、 儒 可 夫 斯 基 函 数 的 单 叶 性 区 域要 求 ： 深 刻 理 解 某 些 初 等 函 数 所 构 成 的
14、共 形 映 射 。4、 关 于 共 形 映 射 的 黎 曼 存 在 定 理 和 边 界 对 应 定 理内 容 ： 黎 曼 存 在 定 理 、 边 界 对 应 定 理 。要 求 ： 了 解 黎 曼 存 在 定 理 和 边 界 对 应 定 理 。第八部分 解 析 延 拓 1、 解 析 延 拓 的 概 念 与 幂 级 数 延 拓内 容 ： 解 析 延 拓 的 概 念 、 解 析 延 拓 的 幂 级 数 方 法要 求 ： 了 解 解 析 开 拓 的 概 念 和 一 般 原 理 。2、 透 弧 解 析 延 拓 、 对 称 原 理内 容 ： 透 弧 直 接 解 析 延 拓 、 黎 曼 -施 瓦 茨 对 称
15、 原 理 。要 求 ： 了 解 透 弧 解 析 延 拓 ， 了 解 对 称 原 理 。3、 完 全 解 析 函 数 及 黎 曼 面 的 概 念内 容 ： 完 全 解 析 函 数 、 单 值 性 定 理 、 黎 曼 面 的 概 念 。要 求 ： 了 解 完 全 解 析 函 数 及 黎 曼 面 的 概 念 。第九部分 调 和 函 数1、 平 均 值 定 理 与 极 值 原 理内 容 ： 平 均 值 定 理 、 极 值 原 理 。要 求 ： 了 解 平 均 值 定 理 与 极 值 原 理 。2、 泊 松 积 分 公 式 与 狄 利 克 雷 问 题内 容 ： 泊 松 积 分 公 式 、 狄 利 克 雷
16、 问 题 、 单 位 圆 内 狄 利 克 雷 问 题 的 解 、 上 半 平 面 内 狄 利克 雷 问 题 的 解 。要 求 ： 了 解 泊 松 积 分 公 式 与 狄 利 克 雷 问 题 。四 、 有 关 教 学 环 节 的 要 求 1、 以 课 堂 教 学 与 多 媒 体 教 学 为 主 ， 自 学 为 辅 ， 教 学 形 式 以 理 论 教 学 为 主 。2、 解 题 练 习 时 数 学 课 教 学 的 一 个 重 要 环 节 ， 每 次 课 布 置 作 业 一 次 。3、 组 织 学 生 2-3 次 课 外 实 践 活 动 。 培 养 学 生 科 研 意 识 。考 核 方 式 ： 考
17、试 ； 采 用 闭 卷 考 试 形 式 进 行 ， 考 试 内 容 覆 盖 考 试 大 纲 80%以 上 内 容 ， 难 易 程度 适 中 ， 客 观 题 占 40%左 右 ， 主 观 题 占 60%左 右 。 题 型 要 求 灵 活 ， 具 有 一 定 的 应 用 性 ， 注 重 实践 性 题 目 逐 年 增 加 ， 比 重 要 逐 步 增 加 ， 提 高 学 生 创 新 和 实 践 的 能 力 。五 、 学 时 分 配课程学时分配表部分节序号 主要内容 讲授学时 习题课 小计第一部分 复 数 与 复 变 函 数 4 0 4第二部分 解 析 函 数 6 0 6第三部分 复 变 函 数 的 积
18、 分 8 0 8第四部分 解 析 函 数 的 幂 级 数 表 示 法 6 0 6第五部分 解 析 函 数 的 洛 朗 展 式 与 孤 立 奇 点 8 0 8第六部分 留 数 理 论 及 其 应 用 8 0 8第七部分 共 形 映 射 4 0 4第八部分 解 析 延 拓 2 0 2第九部分 调 和 函 数 2 0 2总 计 48 0 48六 、 使 用 教 材 与 主 要 教 学 参 考 书 1 钟 玉 泉 编 复 变 函 数 论 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ,2004. 余 家 荣 编 复 变 函 数 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ,2008.7、 大 纲 编 写 依 据 和 说 明根 据 2012 年 4 月 修 订 的 数 学 与 应 用 数 学 专 业 培 养 方 案 的 要 求 ， 以 及 我院地方性、教学型、应用型的特色， 并 参 考 了 其 他 国 内 同 类 高 校 相 同 专 业 的 课 程 设 置 ， 制 定 了 该 课 程 的 教 学 大纲 .执笔教师:刘俊俏 教研室主任：常敏慧 教学系（部）主任：姚 喜 妍
