1、 题目 二 名称 ：截面问题 在一个密闭透明的圆柱型桶内装了一定体积的水 . (1)将圆柱桶分别直立、水平、倾斜放置时，写出水平面可能呈现出的所有几何形状？ (2)请分别画出（ 1）的直观示意图 . (3)参考右面的图 示， 请对 (1)中的结论给出你的证明 . 这个题目等价于用一个平面去截圆柱，想象截面的可能形状、画示意图，并说明理由（证明） . 采用和正方体截面问题相同的思考方式 . 圆柱有一个侧面和两个底面 ， 考虑平面与圆柱的三个面相交的可能情况 ， 有下列可能的截面 . 当平面与圆柱的底面和侧面都相交时，截面为 椭圆的部分与线段围成的图形 . 缺少后两种情形的解答，说明思维的系统性和
2、严密性较差，反映直观想象的水平较低 . 题目三名称： 跑道问题 如图， 400米标准跑道最内圈的示意图，其中左右两边均是半径为 36米的半圆弧 . （ 1）求图中直道的长度（圆周率取 3.14 ，答案精确到米）； （ 2）建立平面直角坐标系 xOy, 并写出此跑道上半部分对应的函数解析式； （ 3）说明跑道设计的合理性 . 试题 针对的主干知识是 建立函数关系（分段函数） ，曲线的切线斜率 . 其数学本质是直线与圆弧相切，切线的斜率连续变化 . 由此解释跑道设计的合理性 . (1)将两端半圆形跑道拼成一个圆，先求弯道的长度，再求直道的长度 , 并按要求取近似值 . （ 2）在给定的坐标系中，求
3、左右两个半圆的方程，限定 y大于 零，用显式表示函数关系，最后写出在定义域内分段函数表达式 . （ 3）切线的斜率连续变化， 使得快速跑步时比较舒适 . 思维方式方法 题目针对的主干知识与数学本质 跑道问题主要 测试学生的 数学抽象、数学运算和 直观想象素养 . 数学抽象与直观想象 素养 ： 建立坐标系，写出跑道上半部分对应的函数表达式（水平 2），并通过几何直观抽象曲线的主要特征（切线斜率连续变化），由此说明跑道设计的合理性（直观想象水平 2） . 数学运算 素养 ： 求跑道弯道的总长度及直道的总长度（水平 1） ），由圆的方程求出函数表达式（水平 2） . 数学核心素养表现的要素和水平 测
4、试典型解答及所反映的数学素养 第（ 1）小题 该小题比较容易，测试数学抽象与运算素养水平 1 ，大部分学生会解答 . 但也存在以下问题： （ 1）可能部分学生对 题目中“求直道的长度”误解，求得结果是一段直道的长度 . 将其修改为“求直道的总长度”更明确 . （ 2）求出的结果没有按照要求的精度取近似值 . 第 （ 2） 小题 解答存在的典型问题 （ 1）不按题目给出的坐标系求函数的表达式 , 而是自行建立坐标系，比较普遍的有下面两种建系方法： 第一种建系方法左半圆弧方程简单，第二种建系方法，跑道上半部分对应的函数是偶函数 . （ 2）没有将函数关系用显示表示，而是用方程表示。 2 2 2(
5、3 6) 3 6 , 0 .x y y 例如 第（ 3）小题 这是一个开放性的问题 ， 命题意图是希望学生从图形看出 “ 由弯道转直道切线斜率连续变化 ， 运动员快速跑步时比较舒服 .” 几乎所有学生 的解答抓不住这个要点 . 学生对开放性问题训练少 ， 数学抽象水平低是原因之一 ，但是主要原因是 问题过于笼统 ， 指向不明确 . （ 3）由于圆的切线始终和半径垂直，所以在弯道与直道的连接过程中，半径的连续变化导致了切线的斜率是连续变化的，且当连接的时候，切线的斜率是 0，即切线与直道直线重合 由于运动员跑步的前进方向始终是跑道曲线的切线方向，跑道曲线的切线的斜率的连续变化，有利于运动员在高速跑步的舒适度，从而有利于运动员的发挥 第（ 3）题的参考答案
