1、教学设计对数函数的图像和性质(2)导入新课 思路 1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数 ya x与函数ylog ax 到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容反函数思路 2.在比较系统地学习对数函数的定义、图像和性质的基础上，利用对数函数的图像和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图像和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题因此，搞清 ya x与函数 ylog ax 的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力推进新课 Error!Error!用列表描点法在同一个直角坐标系中画出 xlog 2y 与 y2 x与 ylog 2x
2、 的函数图像 .通过图像探索在指数函数 y2 x中，x 为自变量，y 为因变量，如果把 y 当成自变量，x 当成因变量，那么 x 是 y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.探索 y 2x与 xlog 2y 的图像间的关系.探索 y 2x与 ylog 2x 的图像间的关系.结合与推测函数 ya x与函数 ylog ax 的关系.讨论结果：y2 x与 xlog 2y.x 3 2 1 0 1 2 3 y 18 14 12 1 2 4 8 ylog 2x.y 3 2 1 0 1 2 3 x 18 14 12 1 2 4 8 图像如图 7.图 7在指数函数 y2 x中，x 是自
3、变量，y 是 x 的函数(xR ，y R )，而且其在 R 上是单调递增函数过 y 轴的正半轴上任意一点作 x 轴的平行线，与 y2 x的图像有且只有一个交点，即对任意的 y 都有唯一的 x 相对应，可以把 y 作为自变量，x 作为 y 的函数由指数式与对数式关系，y2 x得 xlog 2y，即对于每一个y，在关系式 xlog 2y 的作用之下，都有唯一的确定的值 x 和它对应，所以，可以把 y 作为自变量， x 作为 y 的函数，即 xlog 2y.这时我们把函数 x log2yy(0，)叫作函数 y2 x(xR) 的反函数，但习惯上，通常以 x 表示自变量， y 表示函数，对调 xlog
4、2y 中的x、y 写成 ylog 2x，这样 ylog 2xx(0，)是指数函数y2 x(xR) 的反函数由上述讨论可知，对数函数ylog 2xx (0，)是指数函数 y2 x(xR) 的反函数；同时，指数函数 y2 x(xR) 也是对数函数 ylog 2xx (0，) 的反函数因此，指数函数 y2 x(xR) 与对数函数 ylog 2xx (0，) 互为反函数以后，我们所说的反函数是 x，y 对调后的函数如ylog 3x，x (0，)与 y3 x(xR)互为反函数，ylog 0.5x 与y0.5 x(xR) 互为反函数从我们的列表中知道，y2 x与 xlog 2y 是同一个函数图像通过观察图
5、像可知，y2 x与 ylog 2x 的图像关于直线 yx对称通过与类比，归纳知道，ya x(a0，且 a1)的反函数是 ylog ax(a0 且 a 1)，且它们的图像关于直线 yx 对称由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线 yx 对称Error!1用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图像：y log 3x；ylog 2x；ylog 5x.2从图像上观察它们之间有什么样的关系？3函数 y logax，a1 时，a 的变化对图像有何影响？4函数 y logax，0a1 时，a 的变化对图像有何影响？活动：学生动手画出函数图像，教师点拨，学生没有思路教师可以提
6、示学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图像，特别是关键点讨论结果：(1)如图 8.图 8(2)观察图 8 可以看出，y log 3x，ylog 2x， ylog 5x 的图像间有如下关系：都过(1,0) 点，都在 y 轴右边，都是定义域上的增函数，不同的是函数增长的速度不同(3)y logax，a1 时，a 越大，函数增长得越慢，向右离 x 轴越近，向下离 y 轴越近(4)y logax,0a1 时，a 越小，向右离 x 轴越近，向上离 y 轴越近Error!例 1 观察在同一坐标系内函数 ylog 2x 与 y2 x的图像，分析它们之间的关系活动：学生独立在同一坐标系内作出两个函数的图像
7、，要抓住关键点和关键步骤，教师指点、引导学生动手、动脑，注意观察的方法解：图 9 是函数 ylog 2x 与 y2 x的图像从图像上可以看出，函数 ylog 2x 与函数 y2 x的图像关于直线 yx 对称事实上，函数 ylog 2x 与函数 y2 x互为反函数，对应于函数 ylog 2x 的图像上的任一点 P(a，b)，P 点关于直线 yx 的对称点 Q(b，a) 总在函数y2 x的图像上图 9例 2 课本例 7.活动：学生仔细阅读题目，分析问题的实际意义列出数学模型，从而达到解决问题的目的解：因为 14C 的半衰期是 5 730 年所以建立方程 e 5 730r .12解得 r0.000
8、121，由此可知 14C 的衰减规律服从指数型函数C(t) C0e 0.000 121t.设发现 Hammurbi 王朝木炭的时间(1950 年 )为 t0 年因为放射性的物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以 .Ct0C0 4.096.68于是 e0.000 121t0 .4.096.68两边取自然对数，得0.000 121 t0ln 4.09ln 6.68，解得t04 054( 年 )即 Hammurbi 王朝大约存在于公元前 2100 年例 3 若 1x2，比较 (log2x)2，log 2x2，log 2(log2x)的大小活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困
9、难，教师可以提示并及时评价这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法很明显，log 2(log2x)小于0，只要比较(log 2x)2与 log2x2的大小即可解：log 2(log2x)(log 2x)2log 2x2.解法一：因为 log2x2(log 2x)2log 2x(2log 2x)log 2xlog2 ，4x又因为 1x2，所以 1x .4x所以 log2 0，log 2x0.所以 log2x2(log 2x)20.4x又因为 log2x1，log 2(log2x)0，所以 log2(log2x)(log 2x)2log 2x2.解法二：因为(log 2x)2 lo
10、g2x2(log 2x)22log 2x 11(log 2x1) 21，又 1x2 ，所以 0 log2x1，即 0(log 2x)21.因此(log 2x1)210.又 log2(log2x)0，故 log2(log2x)(log 2x)2log 2x2.点评：比较数的大小方法：作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大作商，但必须是同号数，看商与 1 的大小，再决定两个数的大小计算出每个数的值，再比较大小若是两个以上的数，有时采用中间量比较利用图像法利用函数的单调性Error!已知集合 Mx|x3，N x |log2x1，则 MN 等于( )A B x0x3C x1x3 Dx2x 3答案
11、：DError!对于区间m ，n 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对任意的x m，n，均有 |f(x)g(x)|1，则称 f(x)与 g(x)在m ，n上是接近的，否则称 f(x)与 g(x)在 m，n 上是非接近的现有两个函数 f1(x)log a(x3a) 与 f2(x)log a (a0，a1)，给定区间1x aa 2，a 3(1)若 f1(x)与 f2(x)在给定区间a2，a3上都有意义，求 a 的取值范围；(2)讨论 f1(x)与 f2(x)在给定区间a2，a3上是否是接近的活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息 f(x)与 g(x)在m
12、，n 上是接近的定义解题解：(1) 依题意 a0，a1，a23a0，a2a0，所以0a1.(2)|f1(x)f 2(x)|log a(x24ax 3a 2)|.令|f 1(x)f 2(x)|1，得1log a(x24ax 3a2)1.因为 0a1，又a2，a3在 x2a 的右侧，所以 g(x) loga(x24ax3a 2)在a2，a 3上为减函数从而 g(x)maxg(a2)log a(44a)，g(x) ming( a3)log a(96 a)于是成立，当且仅当Error!解此不等式组得 0a .9 5712故当 0a 时，f 1(x)与 f2(x)在给定区间 a2，a3上是9 5712接
13、近的；当 a 且 a1 时，f 1(x)与 f2(x)在给定区间 a2，a3上9 5712是非接近的Error!1互为反函数的概念及其图像间的关系2对数函数图像的平移变换规律3本节课又复习了对数函数的图像与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律4指、对数函数图像性质对比Error!习题 35 B 组 1,2,3,4.设 计 感 想学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图像和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图像的变化规律以及与
14、指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨备 课 资 料【备用习题】1f(x 23)log a (a0，a1)，判断 f(x)的奇偶性x26 x2活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤解：f(x 23)log a ，x2 3 33 x2 3f(x)log
15、a .由 0，得 f(x)的定义域为(3,3)3 x3 x 3 x3 x又f(x) log a log a 1 log a f(x) ，3 x3 x (3 x3 x) (3 x3 x)f(x)是奇函数点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论2已知常数 a、b 满足 a1b0，若 f(x)lg(a xb x)，(1)求 yf (x)的定义域；(2)证明 y f(x)在其定义域内是增函数；(3)若 f(x)恰在(1，)上恒取正值，且 f(2)lg 2，求 a，b 的值(1)解： 由 axb x0，得 x1.(ab)因为 ab0，所以 1.ab所以 y x是增函数而且由 x1 得 x0，
16、(ab) (ab)即函数 f(x)的定义域是 (0，)(2)证明： 任取 x1，x 2(0，)，且 x1x 2，因为 a1，所以 g1(x)a x是增函数所以 ax1ax 20，(ax1ax 2)(bx 1bx 2)0，即(ax 1bx 1)(ax 2bx 2)0.因此 0ax 1bx 1ax 2bx 2，于是 lg(ax1bx 1)lg(ax 2bx 2)，故 f(x)lg(a xb x)在(0 ，)内是增函数(3)解： 因为 f(x)在(1，)内为增函数，所以对于 x(1，) 内每一个 x 值，都有 f(x)f(1)要使 f(x)恰在(1 ，)上恒取正值，即 f(x)0，只需 f(1)0.于是 f(1) lg(ab)0 ，得 ab1.又 f(2)lg 2，所以 lg(a2b 2)lg 2.所以 a2b 22，即(ab)( ab)2.而 ab1，所以 ab2.由Error! 解得Error! 经检验知 a ，b 为所求32 12
