1、1.3.1 三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。四、教学过程：（一）引入：1问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？ （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量 x320232函数值 sin011010正弦函数 性质如下：()sinfx文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当 增加 （ ）时，总有 2kZ(2)sin(2)sin()fxkxkxf也即：（1）当
2、自变量 增加 时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意 ， 恒成立。xsini余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。（二）新课讲解：1周期函数的定义对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都()fxTx有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周T()fxT期。说明：（1） 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说 必须对定义域内的任意 都成立。()(ffx【思考】（1）对于函数 ， 有 ，能否说 是它的周期？sinyxR2sin)sin63623（2）正 弦 函 数 ， 是 不 是 周 期 函 数 ， 如 果 是 ， 周
3、 期 是 多 少 ？ （ ， 且kZ）0k（3）若函数 的周期为 ，则 ， 也是 的周期吗？为什么？ ()fTk*Z()fx（是，其原因为： ）()(2)fxfTT2最小正周期的定义对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最)22525Oxy1小的正数就叫做 的最小正周期。()fx说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；（2）从图象上可以看出 ， ； ， 的最小正周期为 ；sinyxRcosyxR2（3） 【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （ 没有最小正周()fxc期）3例题分析：例 1：求下列函数周期：（1）
4、 ， ；cosyx（2） ， ；inR（3） ， 1()26解：（1） ，cos3cosxx自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出23cosyxR现，所以，函数 ， 的周期是 yR（2） ，sin(2)sin()sinxxx自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出现，si2yx所以，函数 ， 的周期是 iy（3） ，1112sn(2)sin()sin()666xx自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出2yxR现，所以，函数 ， 的周期是 siyR说明：（1）一般结论：函数 及函数 ， （其中sin()Axcos()Ax为常数，且 ， ）的周期
5、 ；,A02T（2）若 ，例如： ， ； ， ；03co()yin()yR ， 1sin()26yxR则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数 及函数 ， 的周期 si()yAcos()yAx2|T例 2：求下列函数的周期：（1） ； （2） ；sin()3yx33ins22（3） ； （4） ； （5） cocosxy2cosyx解：（1） ，周期为 ；|2T（2） ，周期为 ；333cossincos()cos22xxxy x2（3） 周期为 ；cosin2si()4yxx2（4） ，周期为 ；2co（5） ，周期为 11cs(s)s2yxxx说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为 的形式，再利用公式sin()yAx进行求解。2T五、课堂练习：求下列函数的周期：（1） ， ； （2） ， ； （3） ， ；sin3yxRcos3xyRsin4xyR（4） ， ；（5） ， ；（6） ，()10(2)13()2xR六、小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. 型函数的周期的求法。sin()yAx
