1、3.2 圆的轴对称性（1）教学目标使学生理解圆的轴对称性掌握垂径定理学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用教学难点垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点 教学关键理解圆的轴对称性 教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求
2、新知；应用新知，体验成功；目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知 一、复习提问，创设情境 1教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）二、引入新课，揭示课题1在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）设计意图：让学生更好的理
3、解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1任意作一个圆和这个圆的任意一条直径 CD；2作一条和直径 CD 的垂线的弦，AB 与 CD 相交于点 E提出问题：把圆沿着直径 CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）A B C D O E EA=EB； AC=BC，AD=BD 理由如下：OEA=OEB=Rt，根据圆的轴轴对称性，可得射线 EA 与 EB 重合，点 A 与点 B 重合，弧 AC 和弧 BC 重合，弧 AD 和弧 BD 重合 EA=EB， AC=BC，AD=BD 思考：你能利用
4、等腰三角形的性质，说明 OA 平分 CD 吗？（课内练习 1）注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略） 然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂径定理的几何语言CD 为直径，CD AB （OC AB） EA=EB， AC=BC，AD=BD 四、应用新知，体验成功 例 1 已知 AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点(先介绍弧中点概念)作法：连结 AB.作 AB 的垂直平分线 CD， 交弧 AB 于点 E.点 E 就是所求弧 AB 的中点变式一： 求弧 AB
5、 的四等分点A B C D O E 思路：先将弧 AB 平分，再用同样方法将弧 AE、弧 BE 平分（图略） 有一位同学这样画，错在哪里？1作 AB 的垂直平分线 CD2作 AT、BT 的垂直平分线 EF、GH（图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线变式二：你能确定弧 AB 的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心例 2 一条排水管的截面如图所示排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心 O 到水面的距离 OC 思路：先作出圆心 O 到水面的距离 OC，即画 OCAB，AC=BC=8 ，在 RtOCB 中， 6
6、81022BC圆心 O 到水面的距离 OC 为 6例 3 已知：如图，线段 AB 与O 交于 C、D 两点，且 OA=OB 求证：AC=BD 思路：作 OMAB ，垂足为 M， CM=DMOA=OB ， AM=BM ， AC=BD概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距小结：O A B C 1画弦心距是圆中常见的辅助线；2半径（r） 、半弦、弦心距(d) 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长 2drAB注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个五、目标训练,及时反馈1已知0 的半径为 13，一条弦的 AB 的弦心距为 5，则这条弦的弦长等于 答案：24
7、2如图，AB 是0 的中直径，CD 为弦，CDAB 于 E，则下列结论中不一定成立的是（ ）ACOE=DOE BCE=DE COE=BE DBD=BC答案：C 3过O 内一点 M 的最长弦长为 10cm，最短弦长为 8cm，那么OM 长为（ ）A3 B6cm C cm D9cm 答案：A注：圆内过定点 M的弦中，最长的弦是过定点 M的直径，最短的弦是过定点 M与 OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目4如图，O 的直径为 10，弦 AB 长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值范围是（ ）A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5答案：A5 已知O 的
8、半径为 10，弦 ABCD，AB=12，CD=16，则 AB和 CD 的距离为 答案：2 或 24注：要分两种情况讨论：（1）弦 AB、CD 在圆心 O的两侧；（2）弦 AB、CD 在圆心 O的同侧6如图，已知 AB、AC 为弦，OMAB 于点 M， ONAC 于点N ，BC=4，求 MN 的长思路：由垂径定理可得 M、N 分别是 AB、 AC的中点，所以 MN= BC=221六、总结回顾，反思内化师生共同总结： 本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理2垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明3解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r） 、半弦、弦心距(d) 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长 2drAB七、布置作业， 巩固新知P75 作业题 16，第 7 题选做
