1、 第 1 页 共 6 页 太原科技大学 硕士研究生 2014/2015 学年第 1 学期数值分析 课程试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总 分 分数 一、填空题（ 每 空 4分，共 32 分 ） 1、 设 21,132 10,)( 2323xxbxx xxxxs是以 0,1,2 为节点三次样条函数，则 b=_-2_ 2、 解线性方程组 1 2 31 2 31 2 3889 2 688x x xx x xx x x 的 Jacobi迭代格式（分量 形式） 为 ( 1 ) ( ) ( )1 2 3( 1 ) ( ) ( )2 1 3( 1 ) ( ) ( )3 1 288( 6 9 ) / 28
2、8k k kk k kk k kx x xx x xx x x ，其 相应的迭代矩阵 为0 1 8910221 8 0。 3、 方程 03 ax 的 牛顿法的迭代 格 式 为 _ 31 23kkk kxaxx x _，其收敛的阶为 2 。 4、已知数 x 的近似值 0.937 具有三位有效数字，则 x 的相对误差限是 310534.0 解： x1 0.937， 31 1021)( x331111 10( x )2( x ) 0 . 5 3 4 1 0x 0 . 9 3 7r 5、 用列主元 高斯 消去法解线性方程组 2333220221321321xxxxxxxx 第 2 页 共 6 页 作第
3、 1次消元后的第 2， 3个方程分别为 5.35.12 5.15.0 32 32 xx xx6、 设 32 11A，则 )(ACond _4_. 二 、 （本题满分 15分） 证明方程 3 50xx在区间 1,2有唯一实根 ， 构造 一种收敛的迭代格式 1 ( ), 0 ,1, 2 ,kkx x k 使对任何初值 0x 1,2都收敛，并说明收敛理由和收敛 的 阶。 解： （ 1） 证明方程 3 50xx在区间 1,2有唯一实根 .-5 分 设 3( ) 5f x x x ， (1) (2) 5 0ff ，而且 2( ) 3 1 0f x x ，所以3( ) 5f x x x 在 区间 1,2有
4、唯一实根。 （ 2） 构造迭代格式 1 ( ), 0 ,1, 2 ,kkx x k -5 分 改写原方程为等价方程 3 5xx，建立迭代格式 31 5 , 0 ,1, 2 ,kkx x k （ 3） 说明收敛理由 -4 分 由于 3( ) 5xx ，满足 1 ()x 2,而且 ()x = 2 / 3( 5 ) / 3 1 / 3 1x ，故对0x 1,2都收敛。 （ 4）说明 收敛 的 阶。 -1 分 ()a = 2/3( 5) / 3 0a ，故为线性收敛。 或者说收敛的阶为 1. 三、（本题满分 15 分） 构造 过节点 ( 2 ,1 7 ) , ( 0 ,1 ) , (1 , 2 ) ,
5、 ( 2 ,1 9 ) 的牛顿 差商表，并选取合适的节点分别构造二次、三次牛顿 插值多项式 )(),( 32 xPxP 以 计算 2(0.9)P 和3(0.9)p 。 解：列出差商表，如下： nx ()nfx 一阶差商 二阶差商 三阶差商 第 3 页 共 6 页 -2 17 0 1 ( 2,0) 8f 1 2 (0,1) 1f ( 2,0,1) 3f 2 19 (1,2) 17f (0,1,2) 8f 5 4( 2, 0,1, 2)f - 5 分 把 ( 2) 17f ， ( 2,0) 8f ， ( 2,0,1) 3f 代入二阶牛顿插值多项式 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) (
6、) , ( ) , , ( ) ( )P x f x f x x x x f x x x x x x x 得 : 2 ( ) 1 7 8 ( 2 ) 3 ( 2 )p x x x x -4 分 故 2 ( 0 . 9 ) 1 7 8 ( 0 . 9 2 ) 3 ( 0 . 9 2 ) 0 . 9 1 . 6 3p -1 分 由三阶牛顿插值多项式： 3 2 0 1 2 3 0 1 2( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( )p x p x f x x x x x x x x x x 将 0 1 2 32 , 0 , 1 , 2x x x x 和0 1 2 3 5 , , , 4f x x
7、 x x 代入上式，得： 3 51 7 8 ( 2 ) 3 ( 2 ) 4( ) ( 2 ) ( 1 )x x xp x x x x -4 分 故32 5 0 . 9 24( 0 . 9 ) ( 0 . 9 ) ( ) ( 0 . 9 0 ) ( 0 . 9 1 ) 1 . 3 0pp -1 分 四、（本题满分 15分） 设 ,)( 4 baCxf ， ba bfafabbfafabdxxf )()(12 )()()(2)( 2 求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算 ba dxxf )(的一个复化求积公式。 考查知识点： 根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m的多项式均能
8、准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 第 4 页 共 6 页 解： 1)( xf 时，左边 = ab =右边 ; -1 xxf )( 时，左边 = )(21 22 ab =右边 2)( xxf 时，左边 = )(31 33 ab =右 边； 3)( xxf 时，左边 = )(41 44 ab =右边 4)( xxf 时，左边 = )(51 55 ab 右边 ; 故而所给求积公式具有 3次代数精度。 -2 2）将 , ba 作 n 等分，记 .0, niihaxn abhi -1 分 10 1 ,)()( ni xxba ii dxxfdxxf -1 分 而 ,)(
9、)(12)()(2)(1121 iixx iiii xfxfhxfxfhdxxf-2 分 由此可得复化公式 21 110( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2nbi i i ia i hhf x d x f x f x f x f x ） = 21 10 ( ) ( ) ) ( ) ( ) 2 1 2niii hhf x f x f a f b +-4分 第 5 页 共 6 页 五 、（本题满分 13分） 应用数值积分的有关理论 建立常微分方程初值问题： 00 )(),(yxyyxfdxdy的 Adams 二步 显式 公式： 1 1 13 , ,2n n n n n nhy y f
10、 x y f x y 证明： 记 , , 0ibah x a ib i nn -1 分 将 原 方 程 两 边 在 区 间 1,nnxx 上积分得 11 ,nxnn xy x y x f x y x d x -3 分 以 1,nnxx 为插值节点作 ,f x y x 的一次插值多项式， 11 1 111,nnn n n nn n n nx x x xL x f x y x f x y xx x x x ， -3 分 代入前式， 11111111111,3 , ,2nnnnxnn xxxnnn n n n nn n n nn n n n ny x y x f x y x d xx x x xy
11、x f x y x d x f x y x d xx x x xhy x f x y f x y -6 分 将 nyx 用 ny 代替，将 换成 =，则命题得证。 六、（本题满分 10分）（从下列两题中选择一道题完成） 1、 1,1,)( 在xxf 求关于 x,x1, 42span 的最佳平方逼近多项式。 解 内积 11 ,)()(, dxxgxfgf ）（记 240 ,1 21,xx ， ， 利用内积定义有 第 6 页 共 6 页 2),( 1100 dx ， -0.5 分 32),( 11 210 dxx ， 52),( 11 420 dxx ， 52),( 11 411 dxx ， 72
12、),( 11 621 dxx ， 92),( 11 822 dxx ， 1),( 110 dxxf ， -1 分 21),( 11 21 dxxxf ， -1 分 31),( 11 42 dxxxf -1 分 法方程为：01222123512222357122235 7 9ccc -3 分 0 1 20 . 1 1 7 1 8 7 5 , c 1 . 6 4 0 6 2 5 , c - 0 . 8 2 0 3 1 2 5c 得到 f(x)的最佳平方逼多项式为 24( ) 0 . 1 1 7 1 8 7 5 1 . 6 4 0 6 2 5 x - 0 . 8 2 0 3 1 2 5 xpx -1
13、 分 2、 使电流 i 通过 2 的电阻， 用 伏特表测量电阻两端的电压 V ，得到如下数据： 试用最小二乘法建立电流 i 与 电压 V 之间的经验公式。 i 1 2 4 6 8 10 V 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 第 7 页 共 6 页 解：（ 1） 确定 )(iV 的形式。将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取 biaV （ 2）建立法方程组。 11121416181 10A， -2 6 3131 221AA ， -2 61.7442.4Ay -2 法方程： A Ac A y -3 分 4.4 4 2 7.612 2 131 316 ba （ 3）求经验公式 解所得法方程组得 0 . 2 1 5 6 1 6 4 , 2 . 0 3 2 0 5 4 8ab 故所求经验公式 为： 0 . 2 1 5 6 1 6 4 2 . 0 3 2 0 5 4 7 9Vi -1分 第 8 页 共 6 页 第 9 页 共 6 页 第 10 页 共 6 页
