1、第 11 课时 对数函数(3)教学过程一、 问题情境问题 如何求复合函数 y=f(x)的单调区间?二、 数学建构研究复合函数单调性的方法:口诀是“同增异减 ”.若两个函数同增或同减,则复合后的函数为单调增函数; 若两个函数一增一减,则复合后的函数为单调减函数.研究复合函数单调性的具体步骤: 求定义域; 拆分函数; 分别求 y=f(u), u=(x)的单调性; 按“同增异减” 的原则得出复合函数的单调性.三、 数学运用【例 1】 求下列函数的定义域和值域:(1) y=log2x2;(2) y= (9-x2);(3) y=lg(1-x2);(4) y= x+log2x2-1.(见学生用书课堂本 P
2、53)处理建议 紧紧扣住对数函数的单调性来处理与对数函数有关的值域问题.规范板书 解 (1) 由题意可得 x20,即 x0, 函数的定义域为(-, 0)(0, +). x20, 函数的值域为 R.(2) 由题意可得 9-x20,即- 30, (9-x2) 9=-2, 函数的值域为-2, +).(3) 由题意可得 1-x20,即-10, lg(1-x2) 1=0, 函数的值域为 (-, 0.(4) 由题意可得 x0, 函数的定义域为(0, +).令 t=log2x,则 tR, y=t2+2t-1=(t+1)2-2-2,函数的值域为 -2, +). 题后反思 求形如 y=logaf(x)的函数的值
3、域时,一般先由真数f(x)0 求出定义域,然后根据定义域求出 f(x)的范围,再根据 a 的取值确定函数 y=logaf(x)的值域; 求形如 y=f(logax)的函数的值域时,常采用换元法,令 t=logax,先根据定义域求出 t 的范围 ,再求函数 y=f(t)的值域.【例 2】 求函数 y= (-2x2+x)的单调区间. (见学生用书课堂本 P54)处理建议 结合对数函数、二次函数的图象和性质进行解决.规范板书 解 由-2x 2+x0 得 00,得 x3.令 t=x2-2x-3,则y=log2t.因为函数 t=x2-2x-3 在 (-, -1)上单调递减,在(3, +)上单调递增,而函
4、数 y=log2t 是单调增函数 ,所以函数 y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3, + ),单调减区间为( -, -1).变式 2 求函数 y= -2 x 的单调区间. 规范板书 解 由题可得 x0.令 t= x,则 tR, y=t2-2t.因为函数 t= x 在( 0, +)上单调递减, 而函数 y=t2-2t 在 t(-, 1上 此时 x 单调递减,在 t1, +)上 此时 x 单调递增,所以函数 y= - x 的单调增区间为 ,单调减区间为 .变式 3 已知函数 y=loga(x2-ax+2)在1, 2上为单调增函数,求实数 a 的取值范围.规范板书 解 要保证真数大于 0
5、,只要 t=x2-ax+2 在1, 2上的最小值大于 0. 当 a1 时,由题意可知函数 t=x2-ax+2 在1, 2上为单调增函数, 则 解得 a2, 10 恒成立,所以 =4m2-4(m+2)1,若函数 f(x)=logax 在 上的最大值与最小值之差为 ,则a=4.提示 当 a1 时,函数 f(x)=logax 在 上单调递增,故有 loga(2a)-logaa= ,解得 a=4. 3. 已知函数 y= (2x+1)+ (3-x),则它的单调减区间为 .提示 由题意可得 - 0).由于函数 y= t 在 t(0, +)上单调递减,故要求原函数的单调减区间,只需使函数 t=(2x+1)(3-x)为正并且单调递增,即得 x .五、 课堂小结本节课主要研究了复合函数的单调性和值域.要判断复合函数的单调性,首先要把复合函数拆分为几个简单函数,分别判断其单调性,然后再利用“ 同增异减 ”的原则进行判定.要注意对数函数的真数大于0,同时底数 a 的范围对其单调性的影响.
