1、 本科生毕业论文（设计）册 学 部： 信息工程学部 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2009 级 学 生： 韩寒 指导教师： 兰文华 论文编号： 2013230 河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编 号： 2013230 论文（设计）题目； 特征值和特征向量的应用 学 部： 信息工程学部 专业： 数学与用用数学 班级： 2009 级 2班 学生姓名： 学号： 指导教师： 兰文华 职称： 副教授 1、 论文（设计）研究目标及主要任务 通过对特征向量与特征值的应用的研究，来充分利用的特征向量与特征值计算的简便解决相关问题，应用于数学解题计算中和生活实际的应用中。主要是归纳研究出特
2、征向量和特征值在不同类形的矩阵中，怎样帮助解决相关试题。同时将特征值和特征向量应用到生活中的应用，如经济应用，环境污染的增长类型，莱斯利种群 的相关问题。 2、 论文（设计）的主要内容 特征值和特征向量的相关概念，性质。在数学中，按照分类矩阵来应用特征值与特征向量来解题。在生活中的几个方面的应用。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 首先，明白相关的定义，如特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵等相关的概念。其次，了解他的相关性质，并应用到解题和相关的生活中。 4、主要参考文献 1 王萼芳 ,石生明 .高等代数 M.北京 :高等教育 出版社 ,2003. 2 汤正华 .关于矩阵的特征值与特征
3、向量的探究 J.山东行政学院山东省经济管理干部学院学报， 2008，（ 91） :46 48. 3 向以华 .矩阵的特征值与特征向量的研究 J.重庆三峡学院学报， 2009,25（ 117）： 135 138. 4 吴春生 .浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系 J.连云港师范高等专科学校学报， 2004,（ 4）： 75 76. 5 何翼 .求矩阵特征值与特征向量的新方法 J.铜仁学院学报， 2009,11（ 3）： 139 140. 6 杨廷俊 .矩阵特征值与特征向量的同步求解法 J.甘肃联合大学学报（自然科学版），2006,20（ 3）： 20 22. 7 李延敏 .关于矩阵的特征
4、值与特征向量同步求解问题 J.大学数学， 2004,20（ 4）： 92 95. 8 姚幕生 .高等代数 M.上海 :复旦大学出版社 ,2002 9邵丽丽 .矩阵的特征值和特征向量的应用研究 J.菏泽学院学报， 2006，（ 5）： 2023. 10奚传志 .矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用 J.枣庄师专学报， 1991,（ 2）：26 30 11郭华，刘小明 .特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 J.渝州大学学报（自然科学版）， 2000,17（ 2）： 72 75. 12同济大学数学教研室 .线性代数（第二版） M.北京：高等教育出版社 .1993,115 137 13矩阵的特征值、
5、特征向量和应 用 J.临沂师专学报， 1994，（ 5）： 1 7. 5、计划进度 阶段 起止日期 1 指导教师和学生进行双选，确定对应名单 2012.12.31-2012.01.21 2 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、 论文开题 2013.01.21-2013.03.15 3 进行毕业论文的初稿写作 2013.03.20-2013.04.05 4 进一步修改论文，并最终定稿 2013.04.06-2013.04.26 5 论文答辩、填报毕业论文的有关资料 2013.05.08 指 导 教师 : 年 月 日 教研室主任 : 年 月 日 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开
6、题报告书 信息工程 学部 数学与应用数学 专业 2013 届 学生 姓名 论文（设计）题目 特征值与特征向量的应用 指导 教师 兰文华 专业 职称 副教授 所属教研室 离散 研究方向 离散与组合几何 课题论证：见附页 方案设计：首先，对矩阵中的特征值与特征向量的定义及相应的性质；其次，对不同类型的矩阵进行分类，与此同时，利用特征值与特征向量的定义和性质进行解题；最后，举生活中的实例。来证明特征值与特征向量在生活中几方面的应用。 进度计划： 2012.12.31-2012.01.21：指导教师和学生进行双选，确定对应名单 2013.01.21-2013.03.15：毕业论文选题，文献调研填写论文
7、任务书、开题 报告 2013.03.20-2013.04.05：进行毕业论文的初稿写作 2013:04.06-2013.04.26：进一步修改论文，并最终定稿 2013.05.08：论文答辩、填报毕业论文的有关资料 指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日 教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日 附页：课题论证 矩阵是数学领域中的一个重要的基本概念 之一 ,是高等代数的一个主要研究对象 ,也是数学研究和应用的一个重要工具 . 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置 .同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对
8、高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等 代数的相关理论 . 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题 .现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，还有在力学、信息、科技等方面都有十分广泛的应用 . 目前关于已经有很多专家学者在此领域研究该问题 .吴江、孟世才、许耿在浅谈 中“特征值与特征向量”的引入中，从线性空间 V 中的线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与特征向量的概念 .郭华、刘小明在特征值与特征向量在矩
9、阵运算中的作用中，从方阵的特征值与特征向量的性质着手，结合具体的例题阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用 .矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的一阶特征值与特征向量的一种数值方法 ,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶。陈建兵在矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论中讨论了初始向的选取问题 .特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，在方阵阶数很高时计算起来相当的繁琐 ，赵娜、吕剑峰在特征值问题的 MATLAB 实践中，从实际案例出发，利用 MATLAB 软件求解特征值问题的全过程 .汪庆丽
10、在用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量中，研究了一种只要对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证了它方法的合理性，并阐述该方法的具体求解步骤 .岳嵘在由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用中，研究了已知 n 阶对称矩阵 A 的 k个互不相等的特征值及 k-1个特征向量计算出矩阵 A的计算方法 .张红玉在矩阵特征值的理论及应用中，讨论了通过 n阶方阵 A 的特征值得出一系列 相关矩阵的特征值 ,再由特征值与正定矩阵的关系得出了正定矩阵的结论 .刘学鹏、杨军在矩阵的特征值、特征向量和应用一文中，很好的讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的
11、相关计算应用 .冯俊艳、马丽在讨论矩阵的特征值与行列式的关系中，探究了利用矩阵的特征值解决行列式的问题 . 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计） 文献综述 在国内外有很多关于特征值与特征向量的研究成果，并且有很多专家学者涉足此领域研究该问题 .吴江、孟世才、许耿在浅谈 中“特征值与特征向量”的引入中从线性空间 V 中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与特征向量的定义；郭华、刘小明在特征值与特征向量在矩阵运算中的作用中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用；矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，
12、矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法 ,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶 ,陈建兵在矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论中讨论了初始 向量的选取问题 .特征值理论是线性代数中的一个重要的内容；当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在特征值问题的 MATLAB 实践中从实际案例入手，利用 MATLAB 软件讨论了求解特征值问题的全过程 .汪庆丽在用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步
13、骤；岳嵘在由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用中探究了已知 n阶对称矩阵 A的 k个互不相等的特征值及 k-1个特征向量计算出矩阵 A的计 算方法；张红玉在矩阵特征值的理论及应用中讨论了通过 n阶方阵 A 的特征值得出一系列相关矩阵的特征值 ,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论；刘学鹏、杨军在矩阵的特征值、特征向量和应用一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用；冯俊艳、马丽在讨论矩阵的特征值与行列式的关系中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题等等。 在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内
14、容，特征值与特征向量的归纳使得这一工具的使用更加便利 ，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛 .在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明 .由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用归纳 ,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，以及部分在实际生活中的应用。在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径 .本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决 实际问题中的优越性表现出
15、来 . 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）翻译文章 矩阵的特征值可以确定所发现的特征多项式的根。多项式的根的显式代数公式仅当存在比率为 4以下。根据阿贝尔 - 鲁菲尼定理 5个或 5个以上的多项式的根源是没有一般情况下，明确和准确的代数公式。 事实证明，任何程度的多项式是一些同伴阶矩阵的特征多项式。因此， 5个或更多的顺序的矩阵的特征值和特征向量不能获得通过明确的代数公式，因此，必须计算的近似数值方法 在理论上，可以精确计算的特征多项式的系数，因为它们是矩阵元素的总和，有算法，可以 找到任何所需的精度。然而，任意程度的多项式的所有根这种方法在实践中是不可行的，因为系数将被污染的不可避免
16、的舍入误差，多项式的根可以是一个极为敏感的功能（例如由威尔金森的多项式系数）。 在实践中可行，因为系数将被污染的不可避免的舍入误差，多项式的根可以是一个极为敏感的功能（例如由威尔金森的多项式系数） 直到 QR算法在 1961年的来临，高效，精确的方法来计算任意矩阵的特征值和特征向量。 与 LU 分解法的查询结果在一个算法中与更好地的 QR算法的收敛性比。结合了Householder 变换。对于大的的厄密共轭的稀疏矩 阵， theLanczos 算法 ;是一个有效的迭代的方法，以计算特征值和特征向量获得的一个例子，在一些其他的可能性。 编辑 计算特征向量 一旦一个特征值（精确）的值是已知的，可以
17、找到对应的特征向量，通过寻找特征值方程的非零解，即成为与已知的系数的线性方程系统。例如，一旦它是已知的，图 6是矩阵的特征值 我们可以找到它的特征向量，通过求解方程，也就是 yxyx 636 14该矩阵方程相当于两个线性方程组的 6y3y6x 6xyx4也就是 036 02- yx yx两个方程减少到单一的线性方程 xy 2 .因此，任何载体的形式，任何非零实数，是一个特征值与特征向量相匹配。 上述矩阵 A 有另一个特征值。类似的计算表明，对应的特征向量是非零的解决方案，那就是，任何载体的形式，任何非零实数 b。 某些数字的方法，计算的矩阵的特征值也确定一组对应的特征向量作为副产物的计算。 里
18、昂 ，线性代数（第一版）【 M】 .北京：机械工业出版社， 2011. The eigenvalues of a matrix can be determined by finding the roots of the characteristic polynomial. Explicit algebraic formulas for the roots of a polynomial exist only if the degree is 4 or less. According to the AbelRuffini theorem there is no general, explicit
19、 and exact algebraic formula for the roots of a polynomial with degree 5 or more. It turns out that any polynomial with degree is the characteristic polynomial of some companion matrix of order . Therefore, for matrices of order 5 or more, the eigenvalues and eigenvectors cannot be obtained by an ex
20、plicit algebraic formula, and must therefore be computed by approximate numerical methods. In theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be computed exactly, since they are sums of products of matrix elements; and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of
21、 arbitrary degree to any required accuracy.10 However, this approach is not viable in practice because the coefficients would be contaminated by unavoidable round-off errors, and the roots of a polynomial can be an extremely sensitive function of the coefficients (as exemplified by Wilkinsons polyno
22、mial).10 Efficient, accurate methods to compute eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrices were not known until the advent of the QR algorithm in 1961. 10 Combining the Householder transformation with the LU decomposition results in an algorithm with better convergence than the QR algorithm.
23、11 For large Hermitian sparse matrices, theLanczos algorithm is one example of an efficient iterative method to compute eigenvalues and eigenvectors, among several other possibilities.10 edit Computing the eigenvectors Once the (exact) value of an eigenvalue is known, the corresponding eigenvectors
24、can be found by finding non-zero solutions of the eigenvalue equation, that becomes a system of linear equations with known coefficients. For example, once it is known that 6 is an eigenvalue of the matrix 36 14A we can find its eigenvectors by solving the equation V6AV ， that is yxyx 636 14This mat
25、rix equation is equivalent to two linear equations 6y3y6x 6xyx4that is 036 02- yx yxBoth equations reduce to the single linear equation xy 2 . Therefore, any vector of the form 2, aa ,for any non-zero real number a, is an eigenvector of A with eigenvalue 6 . The matrix A above has another eigenvalue
26、 1 . A similar calculation shows that the corresponding eigenvectors are the non-zero solutions of 03 yx , that is, any vector of the form 3, bb , for any non-zero real number . Some numeric methods that compute the eigenvalues of a matrix also determine a set of corresponding eigenvectors as a by-p
27、roduct of the computation. 本科生毕业论文设计 特征值与特征向量的应用 作 者 姓 名 ： 卢超男 指 导 教 师 ： 兰文华 所 在 学 部 ： 信息工程学部 专 业： 数学与应用数学 班 级 （ 届 ）： 2013 届 2 班 二一三年四月二十六 日 目 录 摘要 . 11 绪论 . 2 1 特征值和特征向量 . 3 1.1 特征值与特征向量的概念 . 3 1.2 特征 值与特征向量的性质 . 3 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 . 4 2.1 具体的数字矩阵 . 4 2.2 抽象的矩阵 . 4 2.3 相似矩阵 . 5 2.4 实对称矩阵 . 6 3 特征值和特征向量在生活中的应用 . 8 3.1 经济发展与环境污染的增长模型 . 8 3.2 莱斯利（ Leslie）种群模型 . 11 参考文献 . 18 英文摘要 . 19
