1、101 纯弯曲时梁的正应力 102 常用截面的惯性矩、平行移轴公式 103 弯曲正应力的强度条件 104 提高梁弯曲强度的措施第十章 工程力学之弯曲应力10-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲 ： 梁内各横截面上的剪力为零、弯矩为常数的受力状态。横力弯曲 ： 弯曲梁横截面上既有剪力、又有弯矩的受力状态。如图 10-1（ a）所示的简支梁，其剪力图如图 10-1（ b）所示，弯矩图如图10-1（ c）所示。可以看出梁中间一段的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯弯曲； AC 和 DB 段上既有剪力，又有弯矩，为横力弯曲。一、变形的几何关系1. 梁的变形特点如图 10-2（ a）所示，取梁的纵向对称面为 xy
2、平面。梁上的外载荷就作用在这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这个平面内。加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线 mn、 m1n1，与梁轴线平行的纵线 ab、 a1b1，前二者代表梁的横截面； 后二者代表梁的纵向纤维。如图 10-2（ a）所示。在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图10-2（ b）、图 10-2（ c）所示的弯曲变形，可以观察到以下现象：两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对转动，由平行线变为相交线。梁上纵线（包括轴线）都变成了圆弧线，近凹边的纵线缩短，近凸边的纵线伸长。横截面的高度不变，而横截面的宽度在纵向纤维的缩短区有所增加，在纵向纤维
3、的伸长区有所减少，如图 10-2（ c）所示。根据上述观察到的现象可作如下 两个假设 ：梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，并始终垂直于梁的轴线，这就是梁的平面假设。纵向纤维之间没有相互挤压，每根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。根据变形和平面假设，经分析得如下 两个结论 ：纯弯曲梁横截面上没有剪应力，只有正应力。纯弯曲梁有一个中性层，每个横截面有一个中性轴。中性层 ： 由于变形的连续性，纵向纤维从伸长区到缩短区，必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，这一长度不变的过渡层，称为中性层中性轴 ： 中性层与横截面的交线。根据梁受力和变形的对称性，中性轴一定与对称轴垂直。2. 梁的变形规律可以证明，纯弯
4、曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图 10-2(b)中代表横截面的线段 mn和 m1n1延长，相交于 C点， C点就是梁轴弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表示中性层 的曲率半径，因为中性层的纤维长度 不变，故有在如图 10-2所示的坐标系中， y轴为横截面的对称轴， z轴为中性轴，则距中性层为 y的任一纵向纤维 ab，变形后的长度为其线应变为这就是横截面上各点的纵向线应变沿截面高度的变化规律。它说明梁内任一纵向纤维的线应变 与该纤维到中性层的距离 y成正比，与中性层的曲率半径 成反比。二、变形的物理关系梁纯弯曲时，我们设想纵向纤维只产生简单拉伸或压缩，在正应力没有超过材料的比例极
5、限时，由虎克定律和式（ 10-1）得 上式即为横截面上 弯曲正应力的分布规律 。它表明： 梁纯弯曲时，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。矩形截面梁横截面上正应力的分布规律如图 10-3所示，显然在中性轴上各点的正应力为零，而在中性轴的一边是拉应力，另一边是压应力； 横截面上、下边缘各点的正应力最大。三、 变形的静力学研究在梁的横截面上任取一微面积 ，如图 10-4所示，作用在这微面积上的力为 ，因为横截面上没有轴向内力，所以作用在各微面积 上的力 的合力应等于零，即有将式（ 10 2）代入上式，得因为 ，所以一定有积分 称为 整个横截面对中性轴 z的静矩 ，单位为立方米（ m3）或立方毫米（ mm3）。 yC为该截面的形心坐标。因A0 ，则 yC=0，即中性轴 z必通过横截面的形心。这样中性轴的位置就确定了。因为 y轴是横截面的对称轴，显然也通过横截面的形心，可见在横截面上所选的坐标原点 O就是横截面的形心。纯弯曲梁横截面上的内力为一力偶，即 弯矩 。该弯矩就是横截面上所有微面积的内力的合力，即有将式（ 10-2）代入上式，得
