3.5 解析函数的高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考一、问题的提出问题 :(1) 解析函数是否有高阶导数 ? (2) 若有高阶导数 , 其定义和求法是否与实变函数相同 ?回答 :(1) 解析函数有各高阶导数 . (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示 , 这与实变函数完全不同 .解析函数高阶导数的定义是什么 ?二、主要定理一个解折函数不仅有一阶导数，并且有各高阶导数，这一点与实变函数完全不同，因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性，因而不能保证高阶导数的存在。关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理。定理 3-5-1 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数，它的 n阶导数为：其中， C为在函数 f(z)的解析域 D内围绕 z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全部属于 D。定理 3-5-1的证明证 根据导数的定义 ,从柯西积分公式得定理 3-5-1的证明定理 3-5-1的证明定理 3-5-1的证明再利用以上方法求极限定理 3-5-1的证明至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数 .依次类推 , 利用数学归纳法可证证毕 高阶导数公式的作用 :不在于通过积分来求导 , 而在于通过求导来求积分 .三、典型例题例 1解由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得例 1
