1、6.3 消去法解线性方程组消去法的基本思想 是，将一个方程乘或除以某个常数，或者将两个方程相加减，通过这两种手续逐步减少方程当中变元的数目，最终使每个方程只含有一个变元，从而得到所求的解。消去法常用方法：高斯消去法选主元消去法高斯 -约旦消去法一、约当消去法例 6-3-1 解方程组解 消元的办法很多，我们考虑下述消元过程：第 1步：先将第 1个方程中 x1的系数化为 1，为此用 2遍除 (6.3.1)1的各个系数，得x10.5x2+1.5x3=0.5 （ 6.3.2）然后将 (6.3.1)2减去 (6.3.2)1的 4倍，又将 (6.3.1)3减去 (6.3.2)1，得4x2x3=2 （ 6.
2、3.2）2.5x21.5x3=6.5 （ 6.3.2）(6.3.1)例 6-3-1这样加工得到的方程组 (6.3.2)仅第 1个方程含有变元 x1。第 2步：再加工新的方程 (6.3.2)2，使它的 x2的系数化为 1，变成x20.25x3=0.5 （ 6.3.3）然后将 (6.3.2)1加上 (6.3.3)2的 0.5倍，将 (6.3.2)3减去 (6.3.3)2的 2.5倍，分别得到x11.375x3=0.75 （ 6.3.3）0.875x3=5.25 （ 6.3.3）所归结出的等价方程组 (6.3.3)仅第 2个方程含有变元 x2。例 6-3-1第 3步：所要继续做的工作是将 (6.3.
3、3)3中 x3的系数化为 1，并从其余两个方程 (6.3.3)1和 (6.3.3)2中消去 x3，使方程组变成下列简单形式：x1=9x2= 1x3= 6这就得到所求的解。上述方法就是所谓约当 (Jordan)消去法。一、约当消去法约当方法的消元过程可归纳如下：第 1步：将第 1个方程 x1的系数化为 1，并从其余的方程中消去变元 x1；第 2步：将第 2个方程 x2的系数化为 1，并从其余的方程中消去变元 x2；依此类推，直到每个方程仅有一个变元为止。约当消去法对一般形式的线性方程组：运用约当消元手续做 k-1步以后，方程组将变成下列形式：(6.3.4)(6.3.5)约当消去法消元过程的第 k
4、步承担了两项工作：第一项是，将第 k个方程 xk的系数化为 1，为此用 遍除 (6.3.5)k的系数，记则方程 (6.3.5)k化为(6.3.6)(6.3.7)约当消去法第二项是，再从除 (6.3.5)k以外的其他方程中消去变元 xk，将方程组 (6.3.5)进一步加工成下列形状：注意到 (6.3.5)的第 i个方程中 xk的系数为 ，只要将(6.3.5)i减去 (6.3.7)k的 倍，使可以从 (6.3.5)i中消去变元 xk，而归结为 (6.3.7)i的形式。(6.3.7)约当消去法为此需要施行的运算是：下标 ij，即 i=1, 2, , k1, k+1, , n。算式 (6.3.6)， (6.3.8)是关于下标 k的递推公式。对第 1步，即 k=1时，所要加工的方程组 (6.3.5)的原始形式是所给方程组 (6.3.4)，因此应令系数(6.3.8)(6.3.9)约当消去法对 k=1, 2, ，按上述手续进行 n步以后，加工得到的方程组 (6.3.7)最终化为下列形式：于是得到所求的解。(6.3.10)
