1、4.3 变步长求积公式复化求积方法对提高精度是行之有效的，但是使用复化求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步又往往是困难的。实际计算时通常采用变步长的求积方案，即在步长逐次折半（或称步长二分）的过程中，反复利用复化的求积公式进行计算，直到二分前后的两次积分近似值相当符合为止。变步长求积公式一、 变步长的梯形法则探讨梯形法则的变步长法则计算规律：设将求积区间 (a,b)分成 n等分，则一共有 n+1个分点，按梯形公式 (5)计算积分 Tn（对 f调用 n+1次）。如果将各求积区间再二分一次，则分点增至 2n+1个，若仍直接用
2、梯形公式计算二分后的积分值 T2n，将需要对 f调用 2n+1次。一、 变步长的梯形法则一、 变步长的梯形法则注意到 T2n的全部分点当中，有一半 n+1个是二分前的原有分点，重复计算这些 “老分点 ”上的函数值显然是个浪费。变步长的梯形法则为了避免浪费，将二分前后的两个积分值联系起来加以考察。注意到每个子区间 (xk-1, xk)，经过二分再增加一个新分点 xk-1/2后，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为因此有整理得：变步长的梯形法则再利用 (5)式，得：这个式子的前一项 Tn是二分前的积分值，在求 T2n时可作为已知值使用，而它的后一项只涉及二分时新增加的分点 xk-1/2，所要调用
3、 f的次数为 n。可见递推公式 (9)由于避免了老结点的重复计算，而使计算量节约了一半。变步长梯形法则 的计算流程变步长梯形法则的程序框图变步长梯形法则的算法框图：其中 T1和 T2分别代表二分前后的积分值。各框的含义是：框 1 准备初值。框 2 按递推公式 (9)求二分后的积分值。从第一个分点 x=a+h/2出发，取 h为步长逐步向右跨，即可依次确定公式 (9)中的各个分点。图中将所得到的分点暂存于单元 x中。框 3 控制精度。框 4 修改步长。变步长梯形法则举例例 4-3-1 用变步长的梯形法则计算积分值解 先对整个区间 (0,1)使用梯形公式。计算函数在端点的值f(0)=1, f(1)=0.8414710则T1=f(0)+f(1)/2=0.9207355将区间二等分，求中点的函数值f(1/2)=0.9588511
