列不定方程解应用题,题库教师.doc

1、2-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 1 of 12教学目标1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元 世纪就开始研究不定方程，因此常3称不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 世纪的张丘建算 经中的百鸡问题标志着中国 对不定方程理论有了系统研究宋代数学家秦5九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来考点说明在各类竞赛考试中，不定方程 经常以应用题的形式出现，除此以外，

2、不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题 等压轴大题之中在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是 让学生学会利用不定方程 这个工具，并能 够在以后的学习中使用这个工具解题。二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把 拆成两个正整数的和，一个是 的倍数（要尽量小） ，一个是 的倍数（要尽量大） ，201113求这两个数【 这是一道整数分拆的常规题可 设拆成的两个数分别为 和 ，则有： ，要让1xy201xy取最小值， 取最大值xy可把

3、式子变形为： ，可见 是整数，201315232513x3x满足这一条件的 最小为 7，且当 时， x48y则拆成的两个数分别是 和 92-3-3 列不定方程解应用题2-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 2 of 12【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是 的倍数，乙搬的砖数是 的倍数，两人共搬了 块砖问：182330甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【 设甲搬的是 块，乙搬的是 块那么 观察发现 和 都是 的倍数，所18x23y0xy18x6以 也是 的倍数由于 ，所以 只能为 6 或 12y60时 ，得到 ；29时 ，此时 不是整数，矛盾4所以甲搬了 块，乙搬了 块，甲比乙搬

4、得多，多 块 113824【巩固】 现有足够多的 角和 角的邮票，用来付 元的邮资，问 角的邮票需要多少张？5.78【 设 角和 角的邮票分别有 张和 张，那么就有等量关系： 8xy547xy尝试 的取值，当 取 时， 能取得整数 ，当 再增大，取大于等于 的数时， 没有自然数yy43y6x解所以 角的邮票需要 张 【例 2】 （2008 年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的 倍，则满足条件的所有自然数之和为_.16【 若是四位数 ，则 ，矛盾，四位以上的自然数也不可能。abcd1630abcd若是两位数 ，则 ，也不可能，故只有三位数 .0aa

5、bc，化 简得 .由于 ，0285bc257963b所以 或 . 时， ， ，或 ， ； 时， ， .1219c4a8所以所有自然数之和为 .46模块二、不定方程与应用题【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装 千克油，小的能装 千克油， 千克油恰好装满这854些油桶问：大、小油桶各几个？【 设有大油桶 个，小油桶 个由题意得：xy854可知 ，所以 由于 、 必须为整数，所以相应的将 的所有可能值代入方程，401235、 、 、 、 、 xyx可得 时， 这一组整数解3xy所以大油桶有 个，小油桶有 个4小结 这道题在解答时，也可 联系数论的知识，注意到能被 5 整除的数的特点，便可

6、轻松求解.【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士” ，他们让“小博士”猜他们各命中多少次 “小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以 ，让冬冬把自己命中的次数乘5以 ，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是 ， “小博士”正确地说出了他们4 31各自命中的次数你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【 设丁丁和冬冬分别命中了 次和 次， 则： 可见 除以 4 的余数为 3，而且 不能超xy54xyxx过 6，所以 ， 即丁丁命中了 次，冬冬命中了 次3x4y3【巩固】 某人打靶， 发共打了 环，全部命中在 环、 环和 环上问：他命中 环、 环和 环8510751075

7、各几发？2-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 3 of 12【 假设命中 10 环 发， 7 环 发，5 环 发， 则 由可知 除以 5 的余数xyz8(1)107532xyz 7y为 3，所以 、9如果 为 9，则 ，所以 只能为 4，代入原方程组可解得 ，4y63 1x所以他命中 环 发， 环 发， 环 发z104【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付 元，每一位女宾付 元，每带一个孩子付 元，现在有 的成3 603人各带一个孩子，总共收了 元，问：这个活动共有多少人参加 (成人和孩子)？260【 设参加的男宾有 人，女 宾有 人，则由题意得方程： ，即xy 1130213x

8、yx，化简得 这个方程有四组解： ， ， 和 ，1502160xy547x483xy08但是由于有 的成人带着孩子，所以 能被 整除，检验可知只有后两组满足3y3所以，这个活动共有 人或 人参加123201824【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子参加男3职工每人种 棵树，女职工每人种 棵树，每个孩子都种 棵树，他们一共种了 棵树，那13106216么其中有多少名男职工？【 因为有 的职工各带一个孩子参加， 则职工总人数是 的倍数设男职工有 人，女职工有 人xy则职工总人数是 人，孩子是 人得到方程： ，化简得：xy3xy1303621xy因为男

9、职工与女 职工的人数都是整数，所以当 时， ；当 时， ；当5472xy 8yx， 其中只有 是 的倍数，符合 题意，所以其中有 12 名男职工13125【例 6】 张师傅每天能缝制 件上衣，或者 件裙裤，李师傅每天能缝制 件上衣，或者 件裙裤，两3927人 天共缝制上衣和裙裤 件，那么其中上衣是多少件？204【 如果 天都缝制上衣，共可 缝制 件， 实际上比这多缝制了 件，这就32011340要把上衣换成裙裤， 张师傅每天可多 换 件，李师傅每天可多换 件，设张师傅缝制65裙裤 天，李 师傅缝制裙裤 天，则： ，整数解只有 ， xy54xyx2y因此共缝制裙裤 件，上衣共 件9478【巩固】

10、 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们的叫声统计了 天，发现它们并不是每天早晚都见面在这 天内它们共叫了 声问：15 1561波斯猫至少叫了多少声？ 【 早晨见面小花狗和波斯猫共叫 声，晚上 见面共叫 声设在这 15 天内早晨见面 次，晚上见面35x次根据题意有： ( ， )y61xy5x 1y可以凑出，当 时， ；当 时， ；当 时， 2782x5y因为小花狗共叫了 声，那么 越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当 ， 时波斯猫叫得最少，共叫了 (声)1x

11、5y 37【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个 配件与一个 配件组成甲每天生产 300 个 配ABA件，或生产 150 个 配件；乙每天生产 120 个 配件，或生产 48 个 配件为了在 10 天内生B2-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 4 of 12产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【 假设甲、乙分 别有 天和 天在生产 配件，则他们生产 配件所用的时间分别为 天和xyAB(10)x天，那么 10 天内共生 产了 配件 个，共生产了 配件(10)y(3012)xy个要将它 们 配成套， 配件与 配件的数量应相548(10)9

12、8154AB等，即 ，得到 ，则 32xyxy783032875yx此时生产的产品的套数为 ，要使生产的产品最多，2320315y就要使得 最大，而 最大为 10，所以最多能生 产出 套产品4【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙车间每天能生产上衣 18 件或裤子 24 件现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？【 假设甲、乙两个 车间 用于生产上衣的时间分别为 天和 天，则他们用于生产裤子的天数分别为xy天和 天，那么总共生产了上衣 件，(21)x(21)y(168)生产了裤子 件04(21)9420xy根据题意，

13、裤子和上衣的件数相等，所以 ，即 ，即9420x67154xy那么共生产了 套衣服5476yx 57681863y要使生产的衣服最多，就要使得 最小， 则 应最大，而 最大为 21，此时 故最多可以生产yx出 套衣服210083【例 8】 有一项工程，甲单独做需要 天完成，乙单独做需要 天完成，丙单独做需要 天完成，现363048在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天【 设完成这项工程用了 天，其 间丙休息了 天ab根据题意可知： ， ，化 简得 113604859172048a591720ab由上式，因为

14、与 都是 的倍数，所以 必须是 的倍数，所以 是 的倍数，在 5b725 ab的条件下，只有 ， 一组解，即丙休息了 天a【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共 人恰好坐满了 辆大巴车和 辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在 人到 人之间，30653 205求每辆大巴车的载客人数【 设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为 人和 人，那么有： 由于知道中巴 车的xy536xy载客人数，也就是知道了 的取 值范围，所以应该从 入手显然 被 除所得的余数与 被y 36除所得的余数相等，从个位数上来考虑， 的个位数字只能为 1 或 6，那么当 的

15、个位数是 或5 3 2时成立由于 的值在 20 与 25 之间，所以满足条件的 ，继而求得 ，所以大巴车的7 2y48x载客人数为 人48【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共 人恰好坐满了 辆大巴车和 辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在 人到 人之间，30672 205求每辆大巴车的载客人数【 设大巴车和中巴车的载客人数分别为 人和 人，那么有： xy7236xy考虑等式两边除以 7 的余数，由于 被 除余 ，所以 被 除余 ，符合条件的 有： 、 、306755y613、 ，所以 ，继而求得 ，所以大巴 车的载客人数为 人20720

16、y882-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 5 of 12【巩固】 每辆大汽车能容纳 54 人，每辆小汽车能容纳 36 人现有 378 人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【 设需要大、小汽 车分 别为 辆、 辆， 则有： ，可化为 xy543678xy321xy可以看出 是 3 的倍数，又不超 过 10，所以 可以为 0、3、6 或 9，将 、3、6、9 分别代入可知y 0有四组解： ；或 ；或 ；或19x6即需大汽车 1 辆，小汽车 9 辆 ；或大汽车 3 辆，小汽 车 6 辆 ；或大汽车 5 辆，小汽车 3 辆；或大汽车7 辆【巩固】 小伟听说小峰

17、养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共 条腿 ”那么小峰养了多少兔和鸡？24【 这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知 鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解设小峰养了 只兔子和 只鸡，由 题意得：xy即： ，212x这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示： x013456y28620由题意 ，且 ， 均不为 ，所以 ， ，也就是兔有 只，鸡有 只x5xy2【例 10】 （1999 年香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）一个家具店在 1998 年总共卖了 213 张床起初他们每个月卖出 25 张床，之后每个月卖出 16 张床，最后他们每个月卖

18、出 20 张床问：他们共有多少个月是卖出 25 张床？【 设卖出 25、16、20 张床的月份分别为 、 、 个月，则：xyz12(1)56032xyz 由得 ，代入 得 xz9421z显然这个方程的正整数解只有 ， x3所以只有 1 个月是卖出 25 张床的【例 11】 ( 年“希望杯”第二试试题)五年级一班共有 人，每人参加一个兴趣小组，共有 、208 6A、 、 、 五个小组若参加 组的有 人，参加 组的人数仅次于 组，参加 组、BCDEA15BC组的人数相同，参加 组的人数最少，只有 人那么，参加 组的有_人4【 设参加 组的有 人， 参加 组、 组的有 人，则 ，xCDyxy由题知

19、，整理得 ；152436y27x由于 ，若 ，得 ，满足题意；若 ，则 ，与 矛盾；y765所以只有 ， 符合条件，故 参加 组的有 人7xyB【例 12】 （2008 年全国小学生“我爱数学夏令营”数学竞赛）将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组已知甲乙丙的平均年龄分为 ， ， .甲乙两组人合起来的平均年龄为 ；乙3724129丙两组人合起来的平均年龄为 则这一群人的平均年龄为 .2-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 6 of 12【 设甲乙丙三组分别有 人，依提 议有：xyz， ，3729413xyz由化简可得 ，由 化简可得 ，所以 ；:4:45yz:3:45xy

20、z因此，这一群人的平均年 龄为 37213【例 13】 个大、中、小号钢珠共重 克，大号钢珠每个重 克，中号钢珠每个重 克，小号钢珠每141028个重 克问：大、中、小号钢珠各有多少个？5【 设大、中、小号 钢珠分别有 个， 个和 个， 则： ，得xyz14()8502xyz ()15可 见 是 3 的倍数，又是 7 的倍数，且小于 30，所以只能为 21，故 ，代入得730xy7 3x， 所以大、中、小号 钢珠分别有 3 个、 3 个和 8 个8z【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字 ， 和 ，小明从中摸出 12 个球，它们的数字之和是 问：25 4小明最多摸出几个标有数字 的球？【 设小

21、明摸出标有数字 ， 和 的球分别为 ， ， 个，于是有35xyz12(1)3542xyz 由 ，得 ，()7()xy 由于 ， 都是正整数，因此在中， 取 时 取最大值 ，xyy1x5所以小明最多摸出 5 个标有数字 2 的球【例 14】 公鸡 1 只值钱 5，母鸡一只值钱 3，小鸡三只值钱 1，今有钱 100，买鸡 100 只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【 设买公鸡、母鸡、小鸡各 、 、 只，根据 题意，得方程组 由 ，xyz 1053xyz 3得 ，即： ，因为 、 为正整数，所以不难得出 应为 的倍14820xy2014758xyx4数，故 只能为 、 、 ，从而相 应 的值分别为 、

22、 、 ，相应 的值分别为 、 、 所y184z781以，方程组的特殊解为 ， ， ，所以公鸡、母鸡、小 鸡应分别买 只、 只、178xyz24z只或 只、 只、 只或 只、 只、 只7812【巩固】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 分，套中小猴得 分，套中小狗得 分小明共套了 次，95210每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套 次共得 分问：小明至多套中小鸡106几次？【 设套中小鸡 次，套中小猴 次，则套中小狗( )次根据得 分可列方程：xyxy，化简后得 显然 越小， 越大 将 代入得 ，952(10)61y743x1y738x无整数解；若 ， ，解得 ，所以小明至多套中小 鸡

23、 次735x5【例 15】 开学前，宁宁拿着妈妈给的 元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支 元，铅笔每支 元宁宁0 4买完两种笔后把钱花完请问：她一共买了几支笔？2-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 7 of 12【 (法一)由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道，但总费用已知，所以可以根据不定方程分析两种笔的数量，进而得解设她买了 支圆珠笔， 支铅笔，由题意列方程： ，所以xy430xy， 因为 均为整数，所以 应该能被 整除，又因为 ，所以304yx4103y、 x17或 ，当 时， ， ，当 时， ， ，宁宁共买了 支笔或 支669628y98笔(法二)换个角考虑：将“ 一支圆

24、 珠笔和一支铅笔” 看成一对，分析宁宁可能买了几对笔，不妨 设为对，余下的一定是圆珠笔与 铅笔中的唯一一种一 对笔的售价 为“ 元，由 题意可m 437知， ，又 为整数14（1） 当 时，余款为 ，不能被 或 整除，这种情况不可能；307234（2） 当 时，余款为 ，能被 整除，也就是说配对后，余下 支圆珠笔此 时，216宁宁买了 支圆珠笔， 支铅笔，共 支笔68（3） 当 时，余款为 ，能被 整除，也就是说配对后，余下 支圆珠笔此 时，9 3宁宁买了 支圆珠笔， 支铅笔，共 支笔3（4） 当 时，余款为 ，不能被 或 整除，这种情况不可能，由上面的分析可4m047234知，宁宁共买了 支

25、笔或 支笔98【巩固】 (迎春杯预赛试题)小华和小强各用 角 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是 分一支和6 5分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔多少支7【 设买 分一支的铅笔 支， 分一支的铅笔 支则： ， 是 的倍数用57n5764mn7n， ， ， ， ， ， ， ， 代入检验，只有 ， 满足这一要求，得出相 应的 ，0n123458210m即小华买铅笔 支，小强买铅笔 支，小华比小强多买 支301273102【例 16】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有 名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选已知参加决赛的男选手的人数，占初

26、赛的男选手人数的 ；参20%加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的 ，而且比参加初赛的男选手的人数12.5%多参加决赛的男、女选手各有多少人？【 由于参加决赛的男选手的人数，占初 赛的男选手人数的 ；参加决赛的女选手的人数，占初赛0时女选手人数的 ，所以参加初赛的男选手人数应是 的倍数，参加初 赛的女选手的人数应12.5%是 的倍数8设参加初赛的男生为 人，参加初赛的女生为 人x8y根据题意可列方程： 810y解得 ，或 125xy4又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决 赛的男选手的人数多，也就是 要比 大，所以第一组yx解不合适，只有 ， 满足10y故参加决赛的男选手为 人，女 选手为

27、 人4【巩固】 今有桃 个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有 是坏的，其他是好的；乙班分到的桃95 29有 是坏的，其他是好的甲、乙两班分到的好桃共有几个？316【 甲班分到的桃是 的倍数，乙班分到的桃是 的倍数，假设甲班分到桃 个，乙班分到桃169x个于是： ，解得 ， ，即甲班分到桃 (个)，乙班分到桃y9165xy7x2y763(个) 所以，两班共分到好桃 (个)233()(1592-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 8 of 12【例 17】 甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到 粒如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的20倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是

28、乙的 倍甲、乙两人共有多少粒糖？2 3【 设甲、乙原有糖分 别为 粒、 粒，甲给乙的数量为 粒，则依题意有：xyz，且 整理得()3xzy20(1)3402xy 由得 ，代入得 ，即 2z7z7z因 ，故 或 0y1若 ，则 ， ，不合 题意z422x因而 ，对应方程组有唯一解 ， ， 则甲、乙共有糖 粒1xy1z1724【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出 块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一0倍如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的 倍问：6第一堆中的砖头最少有多少块？【 设第一堆砖有 块， 则根据第一个条件可得第二堆砖有 块x 230x再设从第二

29、堆中取出 块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的 倍，可列方程：y 6，化简 得 ，6230xy7180y那么 7186因为 是整数， 与 互质，所以 应是 的倍数， 最小是 ，推知 最小是y10x，所以，第一堆中的 砖头最少有 块01633710 7【例 18】 (第六届华杯赛复赛第 16 题)甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有 人捐 册，有16人各捐 册，其余都各捐 册，乙班有 人捐 册， 人各捐 册，其余各捐 册；丙班有2716380人各卷 册， 人各捐 册，其余各捐 册。已知甲班捐书总数比乙班多 册，乙班比丙班467928多 册，各班捐书总数在 册与 册之间，问各班各有多少人？10

30、405【 我们设甲班有 人，乙班有 人，丙班有 人，那么三个班的捐书数目分别为：xyz，(3)13x，8y，9427692zz根据题意有： ，即有081()1xy10398xyz又因为各班的捐书数目都在 到 之间，因此我 们知道：捐 书最多的甲班有 ，而450 1350x捐书最少的丙班有 ，从而有92z69834289z，于是有 ，所以有 或 。经检验，当 时， 不是整数，而当35425xx5150xy时，有 ，也就是说，甲乙丙三班人数分别为 ， ， 。1x3,y 1【例 19】 (2009 年“迎春杯”高年级组复赛)在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对

31、应 分、 分和 分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投174中靶子就可以得到相应的分数若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好投中 分才能获奖，要想获奖至少需要投中 120次飞镖2-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 9 of 12【 假设投中 17 分、11 分、4 分的次数分别为 次、 次和 次，那么投中飞镖的总次数为xyz次，而 总得分为 分，要想获奖，必须 xyz174xyz174120xyz由于 ，得到 当 的值一定后，要使 最小，必 须使 尽可能大17206若 ，得到 ，此时无整数解；68yz若 ，得到 ，此

32、时 ， ， ；5x435y6z56xyz若 ，得到 ，此时 最大为 4，当 时 ，这种情况下 ；42 210xyz若 ，得到 ，此时 ， ， ；3169yz39391若 ，得到 ，此时 最大为 6，当 时 ，这种情况下 ；2x8yyz 3若 ，得到 ，此时 最大为 9，当 时 ，这种情况下 ；40xyz若 ，得到 ，此时 最大为 8，当 时 ，这种情况下 02yz 816经过比较可知 的值最小为 10，所以至少需要投中 10 次飞镖才能获奖x模块三、不定方程与生活中的应用题【例 20】 某地用电收费的标准是：若每月用电不超过 度，则每度收 角；若超过 度，则超出部分50550按每度 角收费某月

33、甲用户比乙用户多交 元 角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？83【 3 元 3 角即 33 角，因 为 既不是 的倍数又不是 的倍数，所以甲、乙两用户用电的情况一定是38一个超过了 50 度，另一个 则没有超 过由于甲用户用电更多，所以甲用户用电超过 度，乙用 户用电不足 度 设这个月甲用 电 度，乙用 电 度因为甲比乙多交 角电费，所以5050x50y3有 容易看出 ， ，可知甲用电 度，乙用电 度8xy1xy145【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过 度的部分，按每度 元收费；超过0.45度而不超过 度的部分，按每度 元收费；超过 度的部分按每度 元收费某月甲1020

34、0.8201用户比乙用户多交电费 元，乙用户比丙用户多交 元，那么甲、乙、丙三用户共交电费7.13.75多少元？(用电都按整度数收费)【 由于丙交的电费最少，而且是求甲、乙电费的关键，先分析一下他的用电度数因 为乙用户比丙用户多交 元，所以二者中必有一个用电度数小于 度( 否则差中不会出现 元)，丙用电少，3.75 10.5所以丙用电度数小于 度，乙用电度数大于 度，但是不会超过 度(否则甲、乙用电均超过002度，其电费差 应为 的整数倍，而不会是 元)201.57.设丙用电( )度，乙用电( )度，由 题意得：xy.45.83.7y9165xy92-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版

35、page 10 of 12所以 是 的倍数，又 均为 整数，且都大于 小于y3,xy01所以 ，751639所以丙用电 度，交电费 元；乙交电费 元，甲交电费00.4573.3.576.90元，三户共交 电费 元6.9.14.1694.02【例 21】 马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金 元，乙公司每月4付给他薪金 元年终，马小富从两家公司共获薪金 元他在甲公司打工 个月，350 76在乙公司兼职 个月【 设马小富在甲公司打工 月，在乙公司兼 职 月( ， 、 都是不大于 的自然数)，则有abab12，化 简得 若 为偶数，则 的末位数字为 ，从而 的末47076

36、2ab4735623507a位数字必为 ，这时 但 时， 不是整数，不合 题意，所以 必为奇数 为奇数时，480bb的末位数字为 ，从而 的末位数字为 ， 或 但 时容易看出 ，与355a71a1a矛盾所以， ，代入得 ab16235b于是马小富在甲公司打工 个月，在乙公司兼 职 个月【例 22】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为 分(成绩都是整数)的测验已知：甲得了 分，乙得10 4了最高分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多分求乙、丙、丁、戊的成绩2【 法一：方程法 设丁的分数为 分，乙的分数为 分，那么丙的分数为 分，戊的分数 为xy2x分，根据 “丁

37、的成绩刚好等于五人的平均分”，有 ，所以482x 485xy因 为 ，所以 ， ，得到 ，310y10xy 310102xy 310yx2053x故 ，代入得 所以丁得 分，丙得 分，戊得 分，乙得 分6x86578法二：推理法因为丁为五人的平均分，所以丁不是成 绩最低的；丙的成 绩与甲、丁的平均分相等，所以丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成绩是最低的因为甲是 分，所以丁可能是 分或 分(由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的48得分是偶数)，经检验丁得 分时与题意不符，所以丁得 分，则丙得 分，戊得 分，乙得 分86578【巩固】 有两个学生

38、参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分的整数他们又参加了第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分求第 5 次测验两人的得分(每次测验满分为 100 分)【 设某一学生前 4 次的平均分为 分，第 5 次的得分为 分，则其 5 次总分为 ，xy49054xy于是 显然 ，故 ，解得 0yx901y 90410x 87.由于 为整数，可能为 88 和 89，而且 这两个学生前 4 次的平均分不同，所以他们前 4 次的平均分分别为 88 分和 89 分，那么他 们第 5 次的得分分别为： 分； 分98【例 23】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有 100 道题，每个人各解出其中的 60 道题，有些题三人都解出来了，我们称之为“容易题” ；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题” ；有些题只有一人解出来，我们称之为“难题” 已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多 道【 设容易题、中等题和 难题分别有 道、 道、 道，则 ，由 得xyz10()3282xyz 1(2)，即 ，所以难题比容易题多 20 道2(32)018xyzxyz0