1、第 4 章带有等式约束的最优化问题及其经济学应用4.1 带有等式约束的函数求极值的必要和充分条件一、二元函数带等数约束的极值问题二、多元函数带多个等数约束的极值问题4.2 拟凹函数与拟凸函数一、拟凹函数与拟凸函数的定义MNMNy yx xO Ovu vu4.2 拟凹函数与拟凸函数1. 一元拟凹函数和拟凸函数的定义对于一元函数 y = f(x) 的定义域（凸集）中的任意点 u 和 v ，假设 f(v) f(u) 。如果对于任意的 t 0, 1，有：f(1 t)u + tv f(u)，则称 f 为 拟凹的f(1 t)u + tv f(v)，则称 f 为 拟凸的在 u v 且 t (0, 1) 的情
2、况下，如果上两式是严格 或 或 时，即严格拟凹或拟凸。4.2 拟凹函数与拟凸函数对于多元可微函数 F(x) ，其中 x = (x1, x2, , xn)，任取函数 F(x) 定义域内两个不同的点 u = (u1, u2, , un) 和 v = (v1, v2, , vn) ，假设 F(v) F(u) 。F(x) 拟凹的充要条件为 uF(x) 拟凸的充要条件为 v 其中： ， 。u xx = uv xx = v4.2 拟凹函数与拟凸函数2. 二阶微分判别准则设 F 是定义在开凸集 U Rn 上的二阶可微函数，令：4.2 拟凹函数与拟凸函数F 是拟凹的必要条件为 (-1)kCk(x) 0拟凹的充分条件为 (-1)kCk(x) 0F 是拟凸的必要条件为 Ck(x) 0拟凸的充分条件为 Ck(x) 0若 U Rn+ ，对于严格拟凹和严格拟凸成立。4.2 拟凹函数与拟凸函数三、拟凹函数和拟凸函数的性质1. 若 f(x) 为拟凹函数，则 f(x) 为拟凸函数；若 f(x) 为拟凸函数，则 f(x) 为拟凹函数。2. 任意的凹（凸）函数均为拟凹（拟凸）函数，但反之不一定成立。3. 若 f(x) 为线性函数，则它既是拟凹又是拟凸的。
