1、4.7 导数在经济中的应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用 . 下面介绍导数 (或微分 )在经济中的一些简单的应用 .一 .边际分析与弹性分析边际和弹性是经济学中的两个重要概念 . 用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法 , 称之为边际分析与弹性分析 .1.边际函数Date 1定义 经济学中 ,把函数 (x)的导函数 称为 (x)的边际函数 . 在点 的值 称为 (x)在 处的边际值 (或变化率、变化速度等 ).在经济学中 , 通常取 x =1, 就认为 x达到很小 (再小无意义 ).故有Date 2实际问题中 , 略去 “ 近似 ” 二字 , 就
2、得 (x)在 处的边际值 的经济意义 : 即当自变量 x 在 的基础上再增加一个单位时 , 函数 y的改变量 .例 33 某机械厂 , 生产某种机器配件的最大生产能力为每日 100件 , 假设日产品的总成本 C(元 )与日产量 x (件 )的函数为Date 3求 (1)日产量 75件时的总成本和平均成本 ;(2)当日产量由 75件提高到 90件时 , 总成本的平均改变量 ;(3)当日产量为 75件时的边际成本 .解 (1)日产量 75件时的总成本和平均成本 C(75)=7956.25(元 ) (2)当日产量由 75件提高到 90件时 ,总成本的平均改变量C(75)/75=106.08(元 /件
3、 )Date 4(3)当日产量为 75件时的边际成本注 :当销售量为 x, 总利润为 L=L(x)时 , 称 为销售量为 x时的边际利润 ,它近似等于销售量为 x时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润 .例 34 某糕点加工厂生产 A类 糕点的总成本函数和总收入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是 200公斤 ,250公斤和300公斤时的边际利润 .并说明其经济意义 .Date 5解 (1)总利润函数为 L(x) = R(x) C(x) =边际利润函数为(2)当日产量分别是 200公斤、 250公斤和 300公斤时的边际利润分别是其经济意义 : 当日产量为 200公斤时 , 再增加 1
4、公斤 , 则总利润可增加 1元 .当日产量为 250公斤时 ,再增加 1公斤 ,则总利润无增加 . 当日产量为 300公斤时 ,再增加 1公斤 ,则反而亏损 1元 .Date 6结论 : 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点时 ,反而使企业无利可图 .2.弹性弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时 , 所作出反映的强弱程度 . 即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量 .Date 7定义 若函数 y =(x)在点 的某邻域内有定义 , 且 ,则称 x 和 y 分别是 x 和 y 在点 处的绝对增量 , 并称分别为自变量 x与 (x)在点 处的相对增量 .定义 设 y =(x)当Date 8由弹性定义可知 (1)若 y = (x) 在点 处可导 . 则它在 处的弹性为 (3)弹性是一个无量纲的数值 , 这一数值与计量单位无关 .例 35 当 a、 b、 为常数时 , 求下列函数的弹性函数及在点 x = 1处的点弹性 , 并阐述其经济意义 .Date 9(1)的经济意义是 : 在 x = 1处 , 当 b 0 时 , x 增加 (或减少 )1%, (x)就增加 (或减少 ) b% ;当 b 0 时 , x 增加 (或减少 )1%, (x)就减少 (或增加 ) b% .(x)的经济意义是 :Date 10
