1、- 1 -最大公约数和最小公倍数练习题一. 填空题。1. 都是自然数，如果 ， 的最大公约数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。ab和 ab10和2. 甲 ，乙 ，甲和乙的最大公约数是（ ）（ ）（ ） ，甲235237和乙的最小公倍数是（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 。3. 所有自然数的公约数为（ ） 。4. 如果 m 和 n 是互质数，那么它们的最大公约数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。5. 在 4、9、10 和 16 这四个数中， （ ）和（ ）是互质数， （ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数。6. 用一个数去除 15 和 30，正好都能整除，这个数最大是（ ） 。*7. 两个
2、连续自然数的和是 21，这两个数的最大公约数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。*8. 两个相邻奇数的和是 16，它们的最大公约数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。*9. 某数除以 3、5、7 时都余 1，这个数最小是（ ） 。10. 根据下面的要求写出互质的两个数。（1）两个质数（ ）和（ ） 。（2）连续两个自然数（ ）和（ ） 。（3）1 和任何自然数（ ）和（ ） 。（4）两个合数（ ）和（ ） 。（5）奇数和奇数（ ）和（ ） 。（6）奇数和偶数（ ）和（ ） 。二. 判断题。1. 互质的两个数必定都是质数。 （ ）2. 两个不同的奇数一定是互质数。 （ ）3. 最小的质数是所有偶数的
3、最大公约数。 （ ）4. 有公约数 1 的两个数，一定是互质数。 （ ）5. a 是质数，b 也是质数， ， 一定是质数。 （ ）abm三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。26 和 13（ ） 13 和 6（ ） 4 和 6（ ）5 和 9（ ） 29 和 87（ ） 30 和 15（ ）13、26 和 52 （ ） 2、3 和 7（ ）- 2 -四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。 （三个数的只求最小公倍数）45 和 60 36 和 6027 和 72 76 和 8042、105 和 56 24、36 和 48*五. 动脑筋，想一想：学校买来 40 支圆珠笔和 50 本练习
4、本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多 4 支，练习本多 2 本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？- 3 -试题答案一. 填空题。1. 都是自然数，如果 ， 的最大公约数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。ab和 ab10和 ba2. 甲 ，乙 ，甲和乙的最大公约数是（2）（3）（6） ，甲和乙的最小2357公倍数是（2）（3）（5）（7）（210） 。3. 所有自然数的公约数为（1） 。4. 如果 m 和 n 是互质数，那么它们的最大公约数是（1） ，最小公倍数是（mn） 。5. 在 4、9、10 和 16 这四个数中， （4）和（9）是互质数， （9）和（10）是互质数， （9
5、）和（16）是互质数。6. 用一个数去除 15 和 30，正好都能整除，这个数最大是（15） 。*7. 两个连续自然数的和是 21，这两个数的最大公约数是（1） ，最小公倍数是（110） 。*8. 两个相邻奇数的和是 16，它们的最大公约数是（1） ，最小公倍数是（63） 。*9. 某数除以 3、5、7 时都余 1，这个数最小是（106） 。10. 根据下面的要求写出互质的两个数。（1）两个质数（2）和（3） 。（2）连续两个自然数（4）和（5） 。（3）1 和任何自然数（1）和（9） 。（4）两个合数（9）和（16） 。（5）奇数和奇数（15）和（7） 。（6）奇数和偶数（7）和（4） 。二
6、. 判断题。1. 互质的两个数必定都是质数。 （）2. 两个不同的奇数一定是互质数。 （）3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。 （）4. 有公约数 1 的两个数，一定是互质数。 （）5. a 是质数，b 也是质数， ， 一定是质数。 （）abm三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。26 和 13（13、26） 13 和 6（1、78） 4 和 6（2、12）5 和 9（1、45） 29 和 87（29、87） 30 和 15（15、30）13、26 和 52 （13、52） 2、3 和 7（1，42）四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。 （三个数的只求最小公倍数）45 和
7、60 最大公约数 15，最小公倍数 180。- 4 -36 和 60 最大公约数是 12，最小公倍数 180。27 和 72 最大公约数是 9，最小公倍数 216。76 和 80 最大公约数是 4，最小公倍数 1520。42、105 和 56 最小公倍数是 840。24、36 和 48 最小公倍数是 144。*五. 动脑筋，想一想：学校买来 40 支圆珠笔和 50 本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多 4 支，练习本多 2 本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？你是这样思考吗？（1）圆珠笔多 4 支，也就是圆珠笔用了 （支）4036（2）练习本多 2 本，也就是练习本用了
8、（本）528（3）36 和 48 的公约数是 2，3，4，6，12。因为 ，2 不满足条件0，3 不满足条件41，4 不满足条件，6 满足条件5082，12 满足条件413所以，四年级的三好学生人数是 6 人或 12 人。（4）当三好学生人数为 6 人时，他们每人 6 支圆珠笔，8 本练习本；当三好学生人数为 12 人时，他们每人 3 支圆珠笔，4 本练习本。- 5 -快速求最小公倍数的四种方法江苏省海门市通源小学 五（4）班 张羿 王春雷 邮编：226100我们在求最小公倍数时一般用短除法来求的，其实在很多情况下，求两个数的最小公倍数可以用口算直接求出。下面就给大家介绍四种。一、两数相乘法。
9、如果两个数是互质数。那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。例如：4 和7 的最小公倍数就是 47=28。二、找大数法。如果两个数有倍数关系。那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。例如：3 和15 的最小公倍数就是较大数 15。三、扩大法如果两数不是互质，也没有倍数关系时，可以把较大数依次扩大 2 倍、3 倍、看扩大到哪个数时最先成为较小数的倍数时，这个数就是这两个数的最小公倍数。例如：18 和 30 的最小公倍数，就是把 30 扩大 2 倍得 60，60 不是 18 的倍数；再把 30 扩大 3 倍得 90，90 是 18 的倍数，那么 90 就是 18 和 30 的最小公倍数。四、两数的乘
10、积再除以两数的最大公约数法。这个方法虽然比较复杂，但是使用范围很广。因为两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。例如：4 和 6 的最大公约数是 2，最小公倍数是 12，那么，46=212。为了便于口算，我们可以把两个数中的任意一个数先除以它们的最大公约数，然后再和另一个数相乘。例如：18 和 30 的最大公约数是 6，要求 18和 30 的最小公倍数时，可以先用 18 除以 6 得 3，再用 3 和 30 相乘得 90；或者先用 30 除以 6 得 5，再用 5 和 18 相乘得 90。这 90 就是 18 和 30 的最小公倍数。（指导老师：施 伟）第三讲 最大公约数和最小
11、公倍数一、基本概念和知识- 6 -1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12 的约数有：1，2，3，4，6，12；18 的约数有：1，2，3，6，9，18。12 和 18 的公约数有：1，2，3，6.其中 6 是 12 和 18 的最大公约数，记作（12，18）=6。2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，18 的倍数有：18，36，54，72，90，12 和 18 的公倍数有：36，72，.其中
12、 36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作12，18=36。3.互质数如果两个数的最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数。二、例题例 1 用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析 要求的数去除 30、60、75 都能整除，要求的数是 30、60、75 的公约数。又要求符合条件的最大的数，就是求 30、60、75 的最大公约数。- 7 -解：（30，60，75）=53=15这个数最大是 15。例 2 一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？分析 由题意可知，要求的数是 3、4、5 的公倍数，且是最小的公倍数。解：3，4，5=345=60，用 3、4、5
13、除都能整除的最小的数是 60。例 3 有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析 要截成相等的小段，且无剩余，每段长度必是 120、180 和 300 的公约数。又每段要尽可能长，要求的每段长度就是 120、180 和 300 的最大公约数.（120，180，300）=302=60每小段最长 60 厘米。12060+18060+30060=235=10（段）- 8 -答：每段最长 60 厘米，一共可以截成 10 段。例 4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小
14、时可完成3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍数。3，10，5=532=30各道工序均应加 130 个零件。303=10（人）3010=3（人）305=6（人）答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。例 5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶；平均每 2 个人饮用一瓶 A
15、 饮料，每 3 人饮用一瓶 B 饮料，每 4 人饮用一瓶 C 饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析 由题意可知，参加会餐人数应是 2、3、4 的公倍数。解：2，3，4=12参加会餐人数应是 12 的倍数。又122+123+124=6+4+3=13（瓶），- 9 -可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料，4 瓶 B 饮料，3 瓶 C 饮料，共用 13 瓶饮料。又6513=5，参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍，125=60（人）。答：参加会餐的总人数是 60 人。例 6 一张长方形纸，长 2703 厘米，宽 1113 厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可
16、能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析 由题意可知，正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公约数.在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了 1 以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在此，我们以例 6 为例介绍另一种求最大公约数的方法。对于例 6，可做如下图解：从图中可知：在长 2703 厘米、宽 1113 厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113 厘米）为边长的正方形 2 个.在裁后剩下的长 1113 厘米，宽 477 厘米的长方形中，再裁去以宽（477 厘米）为边长的正方形 2 个.然后又在裁剩下的
17、长方形（长 477 厘米，宽 159 厘米）中，以 159 厘米为边长裁正方形，恰好裁成 3 个，且无剩余.因此可知，159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是 159 厘米.所以，159 厘米是 2703 和 1113 的最大公约数。让我们把图解过程转化为计算过程，即：- 10 -27031113，商 2 余 477；1113477，商 2 余 159；477159，商 3 余 0。或者写为2703=21113+477，1113=2477+159，477=3159。当余数为 0 时，最后一个算式中的除数 159 就是原来两个数 2703 和 1113的最大公约数.可见，477=1593，1113=15932+159=1597，2703=15972+477=15972+1593=15917。又7 和 17 是互质数，159 是 2703 和 1113 的最大公约数。我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。例 7 用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。解：4811=21981+849，1981=2849+283，849=3283，
