1、6.3 定积分在物理学上的应用一、 变力沿直线所作的功二、液体侧压力三、 引力问题四、 转动惯量 1一、 变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到力的方向与运动方向平行 , 求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力 F(x) 在区间 上所作的功为2例 1. 一个单求电场力所作的功 . 解 : 当单位正电荷距离原点 r 时 ,由 库仑定律 电场力为则功的元素为所求功为说明 :位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下 , 3例 2.体 , 求移动过程中气体压力所解 :由于气体的膨胀 , 把
2、容器中的一个面积为 S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图 ), 作的功 .建立坐标系如图 . 由波义耳 马略特定律知压强p 与体积 V 成反比 , 即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 4例 3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解 : 建立坐标系如图 . 在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功 (功元素 )为故所求功为( KJ )设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为 3m, 5面积为 A 的平板二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强 : 当平板与水面平行时 , 当平板不与水面
3、平行时 ,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为6小窄条上各点的压强例 4. 的 液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力 . 解 : 建立坐标系如图 . 所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为 R 的圆桶 ,内盛半桶密度为 7说明 : 当桶内充满液体时 ,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数8三、 引力问题质量分别为 的质点 , 相距 r ,二者间的引力 : 大小 :方向 : 沿两质点的连线若考虑 物体 对质点的引力 , 则需用积分解决 .9例 5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒 ,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力 .解 : 建立坐标系如图 . 细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算10
