1、运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 1 运筹学（第 3 版） 习题答案 第 1 章 线性规划 P36 第 2 章 线性规划的对偶理论 P74 第 3 章 整数规划 P88 第 4 章 目标规划 P105 第 5 章 运输与指派问题 P142 第 6 章 网络模型 P173 第 7 章 网络计划 P195 第 8 章 动态规划 P218 第 9 章 排队论 P248 第 10 章 存储论 P277 第 11 章 决策论 P304 第 12 章 多属性决策 品 P343 第 13 章 博弈论 P371 全书 420 页 第 1章 线性规划 1.1 工厂每月生产 A、 B、 C 三种产品 ,单件产品
2、的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表 1 23 所示 表 1 23 产品 资源 A B C 资源限量 材料 (kg) 1.5 1.2 4 2500 设备 (台时 ) 3 1.6 1.2 1400 利润 (元 /件 ) 10 14 12 根据市场需求 ,预测三种产品最低月需求量分别是 150、 260 和 120,最高月需求是 250、 310和 130.试建立该问题的数学模型 ,使每月利润最大 【 解 】设 x1、 x2、 x3 分别为产品 A、 B、 C 的产量，则数学模型为 1 2 31 2 31 2 31231 2 3m a x 1 0 1 4 1 21 .5 1
3、 .2 4 2 5 0 03 1 .6 1 .2 1 4 0 01 5 0 2 5 02 6 0 3 1 01 2 0 1 3 0, , 0Z x x xx x xx x xxxxx x x 1.2 建筑公司需要用 5m 长的塑钢材料制作 A、 B 两种型号的窗架两种窗架所需材料规格及数量如表 1 24 所示： 表 1 24 窗架所需材料规格及数量 型号 A 型号 B 每套窗架需要材料 长度（ m） 数量 (根 ) 长度 (m) 数量 (根 ) A1： 2 2 B1： 2.5 2 A2： 1.5 3 B2： 2 3 需要量（套） 300 400 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 2 问怎样下
4、料使得（ 1）用料最少；（ 2）余料最少 【 解 】 第一步：求下料方案，见下表。 方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A2 1.5 0 0 0 1 0 0 2 0 2 3 900 余料 (m) 0 0.5 0.5 1 1 1 0 1 0 0.5 第二步：建立线性规划数学模型 设 xj（ j=1,2, ， 10）为第 j 种方案使用原材料的根数，则 （ 1）用料最少数学模型为 1011 2 3 42
5、 5 6 73 6 8 94 7 9 1 0m in2 8 002 12 002 60 02 2 3 90 00 , 1 , 2 , , 10jjjZxx x x xx x x xx x x xx x x xxj （ 2）余料最少数学模型为 2 3 4 5 6 8 1 01 2 3 42 5 6 73 6 8 94 7 9 1 0m in 0 . 5 0 . 5 0 . 52 8 0 02 1 2 0 02 6 0 02 2 3 9 0 00 , 1 , 2 , , 1 0jZ x x x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xxj 1.3 某企业需要制定 1
6、6 月份产品 A 的生产与销售计划。已知产品 A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品 A1000 件， 1 月初仓库库存 200 件。 16 月份产品 A 的单件成本与售价如表 1 25 所示。 表 1 25 月份 1 2 3 4 5 6 产品成本 (元 /件 ) 销售价格 (元 /件 ) 300 330 320 360 360 300 350 340 350 420 410 340 （ 1） 1 6 月份产品 A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型； （ 2）当 1 月初库存量为零并且要求 6 月底需要库存 200 件时，模型如何变化。 【 解 】 设 x
7、j、 yj（ j 1， 2， 6）分别为 1 6 月份的生产量和销售量，则数学模型为 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 3 （ 1）1 1 2 2 3 3 44 5 5 6 611 1 21 1 2 2 31 1 2 2 3 3 41 1 2 2 3 3 4 4 51 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6m a x 30 0 35 0 33 0 34 0 32 0 35 0 36 042 0 36 0 41 0 30 0 34 0800800800800800Z x y x y x y xy x y x yxx y xx y x y xx y x y x y xx y x y x y x
8、y xx y x y x y x y x y x 111 1 2 21 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3 4 41 1 2 2 3 3 4 4 5 51 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6800200200200200200200, 0 ; 1 , 2 , , 6jjxyx y x yx y x y x yx y x y x y x yx y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x yx y j （ 2）目标函数不变，前 6 个约束右端常数 800 改为 1000，第 7 11 个约束右端常数 200 改为 0，第 12 个约束“ 200”改为
9、“ 200”。 1.4 某投资人现有下列四种投资机会 , 三年内每年年初都有 3 万元（不计利息）可供投资： 方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是 20，下一年可继续将本息投入获利； 方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是 50，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过 2 万元； 方案三：在三年内投资人 应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是 60，这种投资最多不超过 1.5 万元； 方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是 30，这种投资最多不超过 1 万元 投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最
10、大，建立数学模型 . 【 解 】是设 xij为第 i 年投入第 j 项目的资金数，变量表如下 项目一 项目 二 项目 三 项目 四 第 1 年 第 2 年 第 3 年 x11 x21 x31 x12 x23 x34 数学模型为 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 4 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 41 1 1 21 1 2 1 2 31 2 2 1 3 1 3 4122334m a x 0 .2 0 .2 0 .2 0 .5 0 .6 0 .3300001 .2 3 0 0 0 01 .5 1 .2 3 0 0 0 02000015000100000 , 1 , , 3 ; 1
11、, 4ijZ x x x x x xxxx x xx x x xxxxx i j 最优解 X=(30000， 0， 66000， 0， 109200， 0)； Z 84720 1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于 94，每桶利润 5 元，见表 1 26。 表 1 26 成品油 高级汽油 一般汽油 航空煤油 一般煤油 半成品油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 轻油、裂化油、重油、残油 轻油、裂化油、重油、残油按 10:4:3:1调合而成 辛烷值 94 84 蒸汽压：公斤平方厘
12、米 1 利润 (元 /桶 ) 5 4.2 3 1.5 半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表 1 27。 表 1 27 问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。 解 设 xij为第 i（ i 1,2,3,4）种成品油配第 j(j=1,2, ,7)种半 成品油的数量（桶）。 总利润： 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 4 3 5 3 6 3 7 4 4 4 5 4 6 4 75 ( ) 4 . 2 ( ) 3 ( ) 1 . 5 ( )Z x x x x x x x x x x x x x x 高级汽油和一般汽油的辛烷值约束 1 1 1 2 1 3 2 1 2
13、 2 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 38 0 1 1 5 1 0 5 8 0 1 1 5 1 0 59 4 , 8 4 9 4x x x x x xx x x x x x 航空煤油蒸气压约束 3 4 3 5 3 6 3 73 4 3 5 3 6 3 71 .5 0 .6 0 .0 5 1x x x xx x x x 一般煤油比例约束 4 4 4 5 4 6 4 7: : : 1 0 : 4 : 3 : 1x x x x 半成品油 1 中石脑油 2 重整汽油 3 裂化汽油 4 轻油 5 裂化油 6 重油 7 残油 辛烷值 80 115 105 蒸汽压：公斤平方厘米 1.0 1
14、.5 0.6 0.05 每天供应数量(桶 ) 2000 1000 1500 1200 1000 1000 800 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 5 即 4 5 4 6444 5 4 6 4 71 0 4 3,4 3 1xxxx x x 半成品油供应量约束 11 2112 2213 2334 4435 4536 4637 47200010001500120010001000800xxxxxxxxxxxxxx整理后得到 11 12 13 21 22 2334 35 36 37 44 45 46 4711 12 1321 22 2321 22 2335 36 3744 4545 4646 4m
15、 a x 5 5 5 4 .2 4 .2 4 .23 3 3 3 1 .5 1 .5 1 .5 1 .51 4 2 1 1 1 01 4 2 1 1 1 04 3 1 2 1 00 .5 0 .4 0 .9 5 04 1 0 03 4 03Z x x x x x xx x x x x x x xx x xx x xx x xx x xxxxxxx 711 2112 2213 2334 4435 4536 4637 4702000100015001200100010008000 ; 1 , 2 , 3 , 4 ; 1 , 2 , , 7ijxxxxxxxxxxxxxxx i j 1.6 图解下列
16、线性规划并指出解的形式： (1) 12121212max 5 22835,0Z x xxxxxxx 【解】 最优解 X（ 3， 2）； 最优值 Z=19 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 6 (2) 1212121212max 4453224,0Z x xxxxxxxxx 【解】 有多重解。最优解 X（ 1） （ 0， 5/4）； X（ 2） （ 3， 1/2） 最优值 Z=5 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 7 (3)121212121212m in 3 22 114 102731,0Z x xxxxxxxxxxx 【解】 最优解 X（ 4， 1）； 最优值 Z= 10，有唯一最优解
17、(4) 121212212min 4 628830, 0Z x xxxxxxxx 【解 】 最优解 X（ 2， 3）； 最优值 Z=26，有唯一最优解 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 8 (5) 0,6322max21212121xxxxxxxxZ【解】 无界解。 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 9 (6)12121212min 2 5262,0Z x xxxxxxx 【解】 无可行解。 运筹学 (第 3 版 ) 习题答案 10 1.7 将下列线性规划化为标准形式 (1) 1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3m in 63 155 7 4 3210 3 6 50 , 0
18、,Z x x xx x xx x xx x xx x x 无 限 制【 解 】（ 1）令 654333 , xxxxxx 为松驰变量 ，则标准形式为 1 2 3 3 1 2 3 3 4 1 2 3 3 5 1 2 3 3 6 1 2 3 3 4 5 6m a x 63 3 155 7 4 4 3210 3 6 6 5, , , , , , 0Z x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x x x (2) 1 2 31 2 31121 2 3m in 9 3 5| 6 7 4 | 205880 , 0 , 0Z x x xx x xxxxx x x 【 解 】（ 2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
