1、1蒙特卡罗模拟法对投资组合风险价值估计的实证研究【摘 要】蒙特卡罗（Monte Carlo）方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。这种方法在风险价值的衡量上有着不可替代的作用，本文对这种方法的概念形式进行简要说明，并且主要对运用这种方法对投资组合风险价值进行估计的程序进行了设计并通过实例进行了验证。 【关键词】蒙特卡罗；风险价值；估计；实现 一、蒙特卡罗 Monte Carlo 的概念、形式与一般步骤 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的
2、概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。又称统计模拟法、随机抽样技术。由 S.M.乌拉姆和 J.冯?诺伊曼在 20 世纪 40 年代为研制核武器而首先提出。它的基本思想是，首先建立一个概率模型或随机过程，使它们的参数，如概率分布或数学期望等问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，并用算术平均值作为所求解的近似值。 （一）积分形式 做 Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是： X 为自变量，它应该是随机的，定义域为（x0， x1） ，f（x）为被积2函数，（x）是
3、x 的概率密度。在计算欧式期权例子中，x 为期权到期日股票价格，由于我们计算期权价格的时候该期权还没有到期，所以此时 x 是不确定的（是一随机变量） ，我们按照相应的理论，假设 x 的概率密度为 （x） 、最高可能股价为 x1（可以是正无穷） 、最低可能股价为x0（可以是 0） ，另外，期权收益是到期日股票价格 x 和期权行权价格的函数，我们用 f（x）来表示期权收益。 （二）一般步骤 我将 Monte Carlo 分为三加一个步骤： 1、依据概率分布 （x）不断生成随机数 x， 并计算 f（x） 由于随机数性质，每次生成的 x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的 x 赋予下标。如
4、 xi 表示生成的第 i 个 x。生成了多少个 x，就可以计算出多少个 f（x）的值 2、将这些 f（x）的值累加，并求平均值 例如我们共生成了 N 个 x，这个步骤用数学式子表达就是 3、到达停止条件后退出 常用的停止条件有两种，一种是设定最多生成 N 个 x，数量达到后即退出，另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差，当这一误差小到某个范围之内时退出。 4、误差分析 Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。3在本文中我们假定此方法收敛，
5、同时得到的结果服从正态分布，因此可以直接用样本方差作区间估计。详细过程在例子中解释。 二、投资组合风险价值的蒙特卡罗模拟的原理 投资组合风险价值的蒙特卡罗模拟法不同于历史模拟计算模型，由于证券市场上股票价格是千百万化的，过去的股票价格并不能代表未来的股票价格，而对投资组合的未来一段时间内的风险价值，对任何投资者来说都是非常重要的。因此，这就需要对股票价格的未来变化进行估计，以便为投资组合未来的风险价值进行估计。 利用蒙特卡罗模拟法对投资组合风险价值进行估计的方法和步骤是：（1）首先利用下面的股票价格的模拟模型来估计未来某一时期内股票的价格： 式中，为 t 时刻的股票价格；为 t+1 时刻的股票
6、价格；为股票价格对数变动的均值；为股票价格对数变动的标准差；为要计算的时间间隔（以年为单位） ；z为服从标准正态分布的随机数。 （2）根据得到的未来股票价格利用上一节介绍的投资组合风险价值的历史数据模拟计算模型方法估计投资组合的风险价值。 需要注意的是，股票价格对数均值和标准差必须与计算的时间间隔对应起来，如果计算的时间间隔为 1 天，那么股票价格对数均值和标准差必须是以日股票价格为基准；如果计算的时间间隔为 7 天（1 周） ，那么股票价格对数均值和标准差必须是以周股票价格为基准。 三、模型结构设计 4模型.xls”的工作簿，在当前的 sheet1 上设计模型的结构，如图 1所示。 图 1
7、投资组合风险价值的蒙特卡罗计算模型 模型由下述三部分组成： （1）已知数据区域，要求用户输入投资组合的投资额、证券数量、未来计算总期数、计算时间间隔、置信水平和总模拟计算个数。此外，在单击准备数据按钮后，模型将对工作表进行格式化，生成一个要求输入各证券的投资比例、股票价格对数均值、股票价格对数标准差、以及目前股票价格的已知数据区域。 （2）命令按钮区域，包括一个准备数据按钮、一个开始计算按钮和一个清除表格按钮。准备数据按钮的功能是在用户输入证券数量后，模型自动对工作表进行格式化，以方便用户输入各证券的投资比例、股票价格对数均值、股票价格对数标准差、以及目前股票价格。开始计算按钮则完成计算功能，
8、并输出投资组合中各证券的价格均值、期收益均值、投资组合单位、投资组合收益、以及投资组合的风险价值的计算结果。清除表格按钮则完成数据清除的功能，使工作表返回到图1 所示的界面。 （3）计算结果区域，是在单击开始计算按钮后，模型计算结果的输出区域，包括最终计算结果区域和中间计算过程区域（在单击开始计算按钮才会出现。 ） 四、模型应用举例 例 某投资者用 10 万元进行一个由 3 个股票构成的投资组合，股票5的有关数据如表 1 所示，若以周为单位，试确定在 95%的置信水平下该投资组合的风险价值。 利用“投资组合风险价值的蒙特卡罗模拟计算模型”的计算过程如下： （1）在单元格 B3 中输入投资额“1
9、00000” ，在单元格 B4 输入投资组合中的证券数量“3” ，在单元格 B5 输入未来的总期数（周） “52”，在单元格 B6 中输入需要计算的时间间隔（以天计算） “7”，在单元格 B7 中输入置信水平“95%” ，在单元格 B8 中输入需要模拟计算的次数（比如1000 次） 。 （2）单击准备数据按钮，对工作表进行格式化，格式化后的工作表如图 2 所示。 图 2 格式化后的工作表 （3）按照格式化后的工作表输入各个证券的有关数据。 （4）单击开始计算按钮，计算结束后，模型弹出“模拟计算结束”信息框，如图 3 所示，并将计算结果输出到工作表的有关单元格中，如图 4 所示。其中股票价格及收
10、益等为最后一次的模拟计算结果。 若利用“投资组合风险价值的蒙特卡罗黑箱计算模型”进行计算，同样进行 1000 次模拟计算，则计算时间只要 20 秒左右，其计算结果如图 5 所示。 图 5 蒙特卡罗的黑箱计算模型的计算结果 可见，该投资组合的周价格为 13.36 元，周收益均值为 0.09 元，1年的投资组合收益为 623.19 元。在 95%的置信水平下，该投资组合第 26个最坏的周收益为-0.07，该投资组合 1 年内的风险价值为 4771.56 元。 由于随机数的原因，每次运行模型所计算的结果是不一样的。当进行足够多次模拟运算时，则每次运行模型所计算的结果差别应该是不是很大的。 参考文献： 1蒙特卡罗计算模型探析J.安徽大学学报（自然科学版） ，2008（3）. 2蒙特卡罗与 matlab.清华大学精品教程.
