1、1解决大地测量中病态问题的算法及原理分析与应用摘要：目前，随着大地测量技术的迅速发展，在大地测量界对病态问题处理的精度和准确度的要求越来越高，人们所采用的数据处理手段也应随之发展。如何充分考虑大地测量实际，探讨有偏估计和观测方程直接解算的新方法，以满足大地测量发展的需要，是大地测量学者面临的一个新任务。在大地测量中，法方程病态问题大量存在。由于病态性的存在，致使按最小二乘法解算参数估值精度变差发生扭曲，最终使所得结果不能使用。重点研究奇异值分解法（SVD）和误差转移法解决病态问题的思想、途径、对关键问题的处理、适用范围等。最后通过 GPS 实测数据来验证这两种方法的有效性，其解算的结果表明：这
2、两种方法能解决法方程病态性问题，且算法简便、易懂，有较强的应用价值。 关键词:大地测量;病态问题;算法;原理;分析 中图分类号：P22 文献标识码：A 文章编号： 1 引 言 对于大地测量领域病态问题的研究，是随着上世纪 90 年代天文观测的发展而广泛开展的。在大地测量中，大部分实际问题都归结为解线性方程组问题。当方程组系数矩阵呈病态时，测量平差系统所得参数估值性质明显变差。病态性问题在测量工程中大量存在，而且有时是不可避免的。例如，在 GPS 快速定位中，由于 GPS 运动属于高轨道运动（距离地面约 20200km） ，这种高轨运动特点决定了其相对于地面上一点的角速2度变化率非常小，也就是说
3、，相邻历元间的几何图形几乎没有变化。这种现象在建立模型时，表现为法矩阵是严重病态的。因此，如何解决法方程病态性问题是现代测量中又一新的课题。 目前针对这方面的问题国内外许多专家学者已经提出不少问题解决的理论及方法。其中著名的有岭估计、广义岭估计、主成份估计法、遗传算法、加权迭代改善算法、奇异值分解法（SVD）等。这些算法中岭估计出现最早，实际应用也相对比较广泛。岭估计作为比较传统的克服病态性的问题的有偏估计类方法之一，已广泛为人们所接受。其基本思想是用增大偏差值以换取估值向量方差的大幅度减小，同时也达到使均方差整体减小的目的，从而最终使参数估值逼近真值。但是由于岭参数的选取比较困难，而且有些学
4、者认为岭估计优于最小二乘估计的充分必要条件还是理论上尚未解决的问题。而加权迭代法和遗传算法则因为要实现迭代和确定搜索范围，算法比较烦琐，故本文将主要研究基于奇异值分解的直接算法和误差转移法来解决法方程中的病态性问题。 2 SVD 法解决病态方程的算法及原理 SVD 的定义：若矩阵，则有： （1） 其中，U 和 V 都是正交阵。是 A 的奇异值，按降序排列，即0，p = minm，n由（3）式得，其广义逆为： 3(2) 其中, 仿 LS 估计方法按广义逆写出估计式 X = A + 6，将（4）式代入，得： （3） （5）式即为基于 SVD 分解法得到参数估值公式。 SVD 方法解决病态问题的核心
5、思想是设法改进设计阵 A 的奇异值状态，以达到解决病态性的影响的目的。目前，针对 SVD 法，有两种途径可以使设计阵奇异值状况得到改善。第一种途径是通过舍去某些小的奇异值而保留相对较大的奇异值（ 这里所提到奇异值均指非负奇异值，而且是按降序排列） ，此即 SVD 奇异值截断法消除病态性方法。第二种途径则是对原有奇异值施以某种形式作用进行修正，修正后的奇异值性态将大为改观，此即为 SVD 奇异值修正法解决病态问题原理。有些文献根据不同实际问题和条件数大小提供了两种不同修正方式。 3 误差转移法 很多文献资料都对形如 AX = b 的方程组做过扰动分析，通过扰动分析，我们不难看出：即使是余量 r
6、= b - AX 非常小，但经过一个特大值（A）作用后，估值偏差仍可能很大。反过来讲，则即使是用常规办法解得的估值向量 X 与真值相差很大，但其却能够很好的满足方程组（1） 。由此设一中间变量 Y，令其满足：X = CY（C 是与设计阵 A 有关的矩阵，也为病态阵） 。此时，因为 C 是病态的，所以解得的 Y 向量误差很大，4但这种误差对真的估值 X 影响却很小。因此，若能确定合适的 C，使 Y 能很好的满足 X = CY，则此时的 X 必能逼近其真值。 设方程组（1）的解算解为，则 b = A 对误差较大的也能较准确的成立。 = CY，将此式代入方程组（1）得： （4） 现在的问题是如何确定
7、 C 才能保证算法的有效性。这里取：效果较好。考虑到可能由于矩阵元素较大而出现溢出，需要对原方程组分别进行一次行均衡处理和一次列均衡处理（鉴于篇幅限制，这里不再赘述。最终得到解式为： (5) 其中, 其中 Z 为均衡处理中产生的中间矩阵，可按文献1的方法解出。 4 算例及计算结果 为检验两种算法的有效性，我们选用 GPS 实测数据作试验，数据采样率为 1s，整个观测时段为 1 小时，当高度截止角设为 10时，观测了8 颗卫星，组成双差方程。我们选取连续 4 个历元解算，则可形成设计阵及（ 事先对粗差做过一定处理） 。为了验证用这 4 个历元解算的正确性，我们把其结果同整个数据用 TGO 专业软
8、件解算的结果作比较。 5例 1，选不同阶数的 Hilbert 矩阵。Hilbert 矩阵是典型的病态阵。为验证方法的通用性，所用矩阵分别是截取了相应的阶数的 Hilbert 矩阵的一部分，使其为长方阵。 例 1： 显然准确解为 x =（1，1，1，）T，解算结果见表 1。奇异值分布见图 1（ 为看清趋势，纵坐标取奇异值常用对数，图 2 也一样） 。表 1 解的有效数字位数 图 1 Hilbert 矩阵奇异值分布趋势图 例 2，以和组成方程组。估值是双差整周模糊度向量。法矩阵条件数为 1. 8637 X 1010。显然设计阵 A 是病态的。现分别用 SVD 法和误差转移法解算，结果列于表 2。奇
9、异值分布见图 2。 表 2 截断奇异值法与误差转移法解算例 2 结果 6 结 论 通过算例和分析，我们可以得出以下结论： （1）当条件数较大时 SVD 截断奇异值法是比较合适的方法。截断奇异值法实际上是舍去那些相对较小的奇异值，这等同于删除了模型参数中不可靠的部分，从而减少了解的方差；而基于 SVD 的奇异值修正法则6是采用了类似于岭估计的思想对奇异值进行了有效改进，因此实际上是兼顾了岭估计和 SVD 分解的双重特点，但此法要求奇异值呈线型分布，在应用时受到一定限制。另外现在，关于奇异值是采取部分修正还是全部修正效果更佳说法还不统一，本文采用全部修正取得了较好结果。到底如何修正才可以取得更为满意的效果，值得进一步研究。 （2）误差转移法，巧妙的引进一中间变量，使此变量承担了病态性带来的大部分不良影响，从而使最终得到的参数估值向量能比较准确的逼近真值。此法简单易懂、算法简便稳定，值得推广其应用领域。 （3）应当指出的是以上两种方法在解决病态性问题时都没有涉及粗差问题，当数据中含有粗差时，还需另外考虑别的解决办法。 参考文献: 1 胡圣荣, 罗锡文. 病态线性方程组的新解法 : 误差转移法 J. 华南农业大学学报, 2001, 24( 4): 92 94. 2 黄松奇, 黄守佳. 用遗传算法解病态方程组 J. 数学的实践与认识, 2003, 33( 8): 97 100.
