1、 1 概率论与数理统计 大题 类型 0： 古典概率（ 10 页，例子） 排列和组合的区别 一：全概率公式和贝叶斯公式 （ 14 页） 例： 某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为 3： 2： 1，各车间产品的不合格率依次为 8， 9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（ 1）取到不合格产品的概率；（ 2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。 解：设 A1， A2， A3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产， B表示产品不合格， 则 A1， A2， A3 为一个完备事件组。 P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)
2、0.08， P(B| A2) 0.09， P(B| A3) 0.12。 由全概率公式 P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式： P(A1| B) P(A1B)/P(B) = 4/9 练习： 市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的 2 倍，第二、三两厂家相等，而且2 第一、二、三厂家的次品率依次为 2， 2， 4 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生 产的概率是多少？ 练习： 设两箱内装有同种零件，第一箱装 50件，有 10件一等品，第二箱装 30件，有
3、18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取 2 个零件，求： （ 1）取出的零件是一等品的概率； （ 2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件 iA =从第 i 箱取的零件 ， iB =第 i 次取的零件是一等品 （ 1） P(1B )=P(1A )P(1B | 1A )+P( 2A )P( 1B |2A )= 52301821501021 （ 2） P(1B 2B )= 194.02121 230218250210 CCCC,则 P(2B | 1B )=)( )( 121BP BBP= 0.485 二、连续型随机变量的综合题 （期望 （ 76
4、页） ，方差 （ 82 页） ，分布函数 （ 41 页） ，概率 和 参数求法 （ 37 页） （第二章，第三章） ） 例： 设随机变量 X的概率密度函数为 o th e rsxxxf 0 20)( 求：（ 1）常数；（ 2） EX； (3)P1X3；（ 4） X 的分布函数 F(x) 解： (1)由 20 1)( x d xdxxf 得到 1/2 3 (2)3421)(220 dxxdxxxfEX(3) 3121 4321)(31 x d xdxxfxP (4)当 x0 时， x dtxF 00)( 当 0 x2 时， x x xt d tdxdttfxF 00 241210)()(当 x
5、2 时， F（ x） =1 故 2001( ) 0 2412xF x x xx 练习： 已知随机变量 X的密度函数为 o th e r sxbaxxf 0 10)( 且 E(X)=7/12。求：（ 1） a , b ；（ 2） X 的分布函数 F(x) （ 3）P-1X0.5 练习： 已知随机变量 X的密度函数为 o th e r sxxxf 0 102)( 求：（ 1） X的分布函数 F(x) ；（ 2） P0.3X2 三、离散型随机变量和分布函数 （期望，方差，分布函数，概率，参数求法） 例 ：设 X 的分布函数 F(x)为： 4 31318.0114.010)(xxxxxF , 则 X
6、的概率分布为（ ）。 分析：其分布函数的图形是阶梯形，故 x 是离散型的随机变量 答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2. 练习： 设随机变量 X 的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5, 写出其分布函数 F(x)。 当 x 1 时， F(x)=0; 当 1 x 2 时， F(x)=0.2; 当 2 x 3 时 ， F(x)=0.5; 当 3 x 时 ， F(x)=1 四、二维连续型随机向量 （未知参数求法，边缘概率，独立性，联合概率密度与边缘概率密度的关系，某个区间的概率） 例： 设 X 与 Y 相互独立，且 X 服从
7、 3 的指数分布， Y 服从 4的指数分布 . （ 1） ),( YX 联合概率密度与 联合分布函数 ；（ 2） )1,1( YXP ； （ 3） ),( YX 在 343,0,0),( yxyxyxD 取值的概率。 解 :（ 1）依题知 5 其他,0 0,3)(3 xexf xX 其他,0 0,4)(4 yeyf yY所以 ),( YX 联合概率密度为 其他,0 0,0,12),(43 yxeyxf yx 当 0,0 yx 时，有 )1)(1(12),( 430 0 43 yxx y st eedsedtyxF 所以 ),( YX 联合分布函数 其他,0 ;0,0),1)(1(),(43 y
8、xeeyxF yx （ 2） )1)(1()1,1()1,1( 43 eeFYXP ； （ 3） 310 4330 43 4112),( edyedxDYXP x yx 练 习 ： 设二元随机变量（ X ， Y ）的 联 合 密 度 是 o t h e r syxeyxf yx00,025001),( )(501 求：（ 1）关于 X 的边缘密度函数 f X(x)；（ 2） PX 50， Y50 五、二维离散型随机向量 （边缘分布，独立性，联合分布与边缘分布的关系，函数的分布求法） （重点：书里例题） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机向量 (X,Y)的联合分布律及 关于 X
9、 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值 ,试将其他数值填入表中的空白处。 6 161818121321jipxxpyyyXY 答案： 131216143418381411218124121321jipxxpyyyXY 六 、协方差和相关系数 （ 86 页），期望（ 80 页）和方差（ 84页）的性质 （公式） 例： 已知随机向量（ X,Y）的协差矩阵 V 为 96 64V计算随机向量（ X Y, X Y）的协差矩阵 解： DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6 D(X Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 CO
10、V（ X Y, X Y） =DX-DY=-5 故（ X Y, X Y）的协差矩阵 15 525练 习： 随机向量（ X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 21 2221 2121 V7 计算随机向量（ 9X Y, X Y）的协差矩阵 解： E(9X+Y)= 9EX+ E Y 9 1+ 2 E(X Y)= EX E Y 1 2 D(9X Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81 12 18 1 2 22 D(X Y)= DX + DY 2 COV(X,Y)= 12 2 1 2 22 COV（ 9X Y, X Y） =9DX-DY 8 COV(X,Y)= 9 12 8
11、 1 2 22 然后写出它们的矩阵形式（略） 七、随机变量函数的密度函数 （离散型 （所有函数都会求，特别 MAX， MIN 函数） 和连续型 （简单函数会求） ） （ 63 页） 重点：书里相应例题。 例： 设 XU(0,2),则 Y= 2X 在 (0,4)内的概率密度 )(yfY （ ）。答案 填：y41 解 ： XU(0,2) 1 , 0 2() 20,xfxot he rs ， 2( ) ( )yY yF y P Y y P X y P y X y f x dx ， 求导出 )(yfY 11( ) ( ) ( )22XXf y f yyy =y41（ 04y） 8 练习： 设随机变量
12、X 在区间 1， 2上服从均匀分布，求 Y= Xe2的概率密度 f(y)。 答案：当 42 eye 时， f(y)=y21，当 y 在其他范围内取值时，f(y)=0. 八、中心极限定理 （ 109 页） (正态分布的标准化（ 101 页），及其可加性公式（ 105 页） ) 例： 设对目标独立地发射 400 发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于 0.2。请用中心极限定理计算命中 60 发到 100 发的概率。 解：设 X 表示 400 发炮弹的命中颗数，则 X 服从B(400,0.2),EX=80， DX=64, 由中心极限定理： X服从正态分布 N(80,64) P60X100=P-2.5(X
13、-80)/82.5=2 (2.5) 1 0.9876 练习： 袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为 500 克，标准差为 10 克，一箱内装 100 袋，求一箱食盐净重超过 50250 克的概率。 九 、最大似然估计 （ 148 页） ，矩估计法 （ 146 页） （书本） 例： 设总体 X的概率密度为 9 其他,0 10,)1()( xxxf 其中未知参数 1 ， nXXX , 21 是取自总 体的简单随机样本，用极大似然估计法求 的估计量。 解：设似然函数 ),2,1;10()1()(1 nixxL ini i 对此式取对数，即： ni ixnL 1 ln)1ln ()(ln
14、且 ni ixnd Ld 1 ln1ln 令 ,0ln d Ld 可得 ni ixn1ln1 ，此即 的极大似然估计量。 例： 设总体 X 的概率密度为 )0,0(,0,00,)( 1 axxeaxxf axa 据来自总体 X 的简单随机样本 ),( 21 nXXX ，求未知参数 的最大似然估计量 。 解：由 0,00,)( 1xxeaxxfX axa 得总体 X 的样本 ),( 21 nXXX 的似然函数 niainiainxniain xxaeaxxxxL ai1111121 e x p )(),( 再取对数得： ni iniai xaxanL11 )ln ()1()ln (ln 10 再
15、求 Lln 对 的导数： niaixaand Ld1ln 令 0ln1 niaixaand Ld ，得 ni aixn1 所以未知参数 的最大似然估计量为ni aixn1。 练习： 设总体 X的密度函数为 )0(010),( 1 o t h e r sxxxf X1,X2, ,Xn 是取自总体 X 的一组样本，求参数的最大似然估计 。 十 、无偏性和有效性（ 153 页， 154 页） 十 、区间估计 （ 书本 ） 总总 体体 X服服 从从 正正 态态 分分 布布 N(,2), X1,X2, ,Xn 为为 X 的的 一一 个个 样样 本本 1： 2 已知 ,求的置信度为 1-置信区间 2： 2 未知 ,求的置信度为 1-置信区 3： 求 2 置信度为 1-的置信区间 ( , )X u X unn)1(,)1( nSntXnSntX )S)1n(,S)1n()1n(2122)1n(222
