1、工程数学第 1讲本文件可从网址http:/上下载(单击 ppt讲义后选择 工程数学 子目录 )1复变函数2第一章 复数与复平面1 复数31. 复数的概念在实数范围 , 方程x2=-1是无解的 . 因此引进一个新数 i, 称为虚数单位 , 并规定i2 =-1从而 i是方程 x2=-1的一个根 .对于任意二实数 x,y, 称 z=x+iy或 z=x+yi为 复数 , x,y分别称为 z的 实部 和 虚部 , 记作x=Re(z), y=Im(z)4当 x=0,y0时 , z=iy称为 纯虚数 ; 当 y=0时 z=x+0i, 将其看作是实数 x.两个复数 相等 , 是指的它的实部和虚部分别相等 .
2、复数 z=0, 是指的实部和虚部都是 0.2. 复数的代数运算 两个复数 z1=x1+iy1, z2=x2+iy2的加法 , 减法和乘法定义为(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2) (1.1.1)(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)(1.1.2)称上面二式右端为 z1,z2的 和 ,差 与 积当 z1,z2为实数时 , 上二式与实数的运算一致 .5称满足z2z=z1 (z20)的复数 z=x+iy为 z1除以 z2的 商 , 复数运算满足交换律 ,结合律和分配律 :z1+z2=z2+z1, z1z2=z2z1;z1+(z2+
3、z3)=(z1+z2)+z3), z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 6把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为 共轭复数 ,与 z共轭的复数记作 z71. 复平面 由于一个复数 z=x+iy由一对有序实数 (x, y)碓一确定 , 所以对于平面上的直角坐标系 , 复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系 , 从而复数 z=x+iy可以用该平面上的坐标为 (x, y)的点来表示 , 这是复数的一个常用表示方法 . 此时 , x轴称为 实轴 , y轴称为 虚轴 , 两轴所在的平面称为 复平面 或 z-平面 . 这样 , 复数与复平面上的点成一一对应 , 并且把 “点z“作为 “数 z“的同义词 , 从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题 .8在复平面上 , 复数 z还与从原点指向点 z=x+iy的平面向量一一对应 , 因此复数 z也能用向量OP来表示 . 向量的长度称为 z的 模 或 绝对值 , 记作O xyxyqPz=x+iy|z|=r9显然 , 下列各式成立O xyxyqPz=x+iy|z|=r10
